Legendreの球関数－部分積分法の応用－

Legendreの球関数

部分積分法の応用としてLegendreの球関数といわれる関数を考えてみましょう。
\(n-1\)次以下の全ての多項式　\(Q(x)\)に対して、

\(\displaystyle \int_{a}^{b} Q(x)P_n(x) dx＝0\)･････････①

になるような\(n\)次の多項式\(P_n(x)\)を求めてみましょう。

Legendreの球関数が存在すること

ここで、①式を満たす関数\(P_n(x)\)を直交関数といいますが、このような\(P_n(x)\)が存在することは次のように証明できます。
多項式の原始関数は、次数の１つ高い多項式ですから、\(n\)次の多項式\(P_n(x)\)は、\(2n\)次のある多項式\(F(x)\)の第\(n\)階の導関数です。
よって、\(F^{(n)}(x)＝P_n(x)\)とおけます。このとき条件式①は、

\(\displaystyle \int_{a}^{b} QP^(n) dx＝\left[ \ QF^{(n-1)}－Q’F^{(n-2)}+････････±Q^{(n-1)}F\right]_a^b＝0\)　となります。

また、上式は、\(F(a)＝F'(a)＝･････････=F^{(n-1)}(a)＝0\)
\(F(b)＝F'(b)＝･････････=F^{(n-1)}(b)＝0\)
であれば、成り立ちます。
ここで、\(F(x)＝(x-a)^n(x-b)^n\)はこれを満たします。
従って、\(C\)を任意の定数として、\(P_n(x)＝C･\frac{ d^n y }{ dx^n }(x-a)^n(x-b)^n\)が求める多項式となります。

積分区間が\([-1,1]\)のとき、
\(P_n(x)＝1/(2^nn!)･\frac{ d^n y }{ dx^n }(x^２－1)^n\)･･･････②　となりますが、②式で定義される多項式をLedendreの球関数といいます。

②の\((x^2－1)^n\)を2項展開すれば、

\(P_n(x)＝\displaystyle \sum_{k=0 }^{[ n/2]}(-1)^k/2^k･(1･3････････(2n-2k-1))/(k！(n-2k)！･x^{n-2k}\)　です。

Legendreの球関数の歴史的意味

物理学のポテンシャル論において、関数\(1/(\sqrt{1-2rcosθ+r^2})\)を\(r\)のべき級数に展開する必要がありました。ここで、\(x=cosθ\)とおけば、球関数\(P_n(x)\)が出てきます。つまり、

\(1/(\sqrt{1-2rcosθ+r^2})＝\displaystyle \sum_{n=0}^{∞} P_n(cosθ)r^n\)　となり、球関数P_n(x)がでてくる歴史的な過程です。
ここで、\((1-2rx+r^2)^{-1/2}\)を母関数といいます。
また、Legendreの多項式は、量子力学のSchoredinger方程式（time-independentであれば、2階の３次元偏微分方程式）を解くときにも出てきます。