一日一問－解答編－

一日一問限定で演習をやってみましょう。


【問題】

次の問いに答えてください。
（1）\(0＜θ＜π/2\)　とします。このとき、\(\cos θ\)　は有理数ではないが、
　\(\cos 2θ、\cos 3θ\)　がともに有理数になるような　\(θ\)　の値を求めてください。
　ただし、\(p\)　が素数のとき、\(\sqrt{p}\)　は有理数でない事は、使っていいものとします。
（2） 次の積分を求めてください。
　　　 (a)　\(\displaystyle \int_{0}^{π/2} ｘ/ \cos^2 x\ dx\)　　　　(b)　\(\displaystyle \int_{0}^{π/2} 1/ \cos x\ dx\)
（京都大学）

【解答】

こういう問題は、背理法によるのでしょう。

（1）\( \cos θ \)　が無理数とし、 \(\cos 2θ、\cos 3θ\) が有理数とします。
　　\(\cos 2θ ＝2 \cos^2 θ－1\)　より \(2 \cos^2 θ－1 ＝t\)　(有理数）　とおけば
　　\( \cos 3θ ＝4 \cos^3 θ －3 \cos θ\ ＝(－1+2r) \cos θ\)
　　ここで、\(-1+2r≠0\)　なら、有理数＝無理数　となり矛盾。
　　よって、\(ｒ＝1/2\)　従って　\( cos^2 θ ＝3/4\)　から　\(θ＝π/6\)
　　このとき、 \( \cos θ ＝\sqrt{3}/2＝無理数、 \cos 2θ ＝1/2＝有理数、\cos 3θ＝0＝有理数\)
　　だから題意に適す。答え：\(θ=π/6\)

(2)　部分積分より、
　　 \(\displaystyle \int_{0}^{π/2} ｘ/ \cos^2 x\ dx＝π/4－1/2・\log 2\)

　　\(1/ \cos x= \cos x /(1+\sin x)(1－\sin x)\)
　　　＝\(1/2・(\cosｘ/(1+\sin x)+\cos x/(1－\sin x))\)
　から、同様に部分積分を行うと、
　　 \(\displaystyle \int_{0}^{π/2} 1/ \cos x\ dx\)
　　＝\(1/2･\displaystyle \int_{0}^{π/2}((1+\sin x)’/ (1+\sin x )－(1－\sin x )’/(1－\sin x) dx )\)
　　＝\(1/2･\log (\sqrt{2}+1)/(\sqrt{2}－１)\)
　　＝\(\log (\sqrt{2}+1)\)