2次曲線の分類

2次曲線とは

2次曲線は、\(O-xy\)　直交座標で、
\(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\)･･････①　が与えられたものを言います。
結論的に言えば、①は、楕円、双曲線、放物線、相交わる2直線、平行な2直線
を表します。

2次曲線の分類

2次曲線　①　が対称の中心を持つかどうかで分類します。

　\(F(x,y)＝ ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) ･･･････②　とし、
　\(D＝h^2－ab>0\)　とします。
（１）\(D≠0\)　なら、②　はただ1つの中心を持ち、その座標は、
　　　\(x_0=＝(bg－fh)/D、y_0＝(af-gh)/D\)　･･･････③
（２）\(D=0\)　ならば、②は、中心を持たないか、無数の中心を持ちます。

この証明はそれほど難しくありません。

次に2次曲線の標準形について考えてみましょう。

まず、\(D≠0\)　すなわち中心を持つ場合です。
原点を③の座標の中心に平行移動すると、②の2次曲線は
\(ax^2+2hxy+by^2+F(x_0,y_0)=0\) ････････④　 となります。
さらに、\(h≠0\)　のときは、新原点　\((x_0,y_0)\)　の周りに
\(2hcosθ＝(a-b)sin2θ\)･･････⑤　を満たす　\(θ\)　だけ回転すると　④　は、
\(a’x^2+b’y^2+F(x_0、y_0)＝0\)
の形になります。

これで、中心のある　\(2次\)曲線（有心2次曲線）の分類に進みましょう。
\(F(x,y)＝(ax+hy+g)ｘ+(hx+by+f)ｙ+ｇｘ+fy+c\)　ですから、
③を満たす　\((x_0,y_0)\)　では、
\(F(x_0,y_0)＝gx_0+fy_0+ｃ＝ｇ・(bg-fh)/D+f・(af-gh)/D+c\) から
\(F(x_0,y_0)＝1/D・(af^2+bgk^2+ch^2－2fgh－abc)\)
また、\(a’+b’=a+ｂ\)、\(h’^2－a’b’＝h^2－ab＝D\)
特に、⑤　を満たせば、\(a’b’＝－D\)

これから、2次曲線　 \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\)　は、
\(D＝h^2－ab、Δ＝ af^2+bgk^2+ch^2－2fgh－abc) \)　とおけば

ⅰ）\(D≠0\)　の場合、適当な座標変換によって、
　　\(Ax^2+By^2＝－Δ/D\)　となり、
　　\(A,B\)　は、\(t^2－(a+b)ｔ－Ｄ＝0\)　の2解となります。
　(a)　\(D＞0\)　のときは、楕円
　(b)　\(D＞0、Δ≠0\)　なら双曲線
　(c）\(D>0、Δ＝0\)　なら相交わる2直線となります。

ⅱ）\(D＝0\)　のときは
　(d)　\(Δ≠0\)　なら　放物線
　(e)　\(Δ＝0\)　なら平行2直線

となります。

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