問題演習－解答編－

二次試験を目指して、軽い問題演習をやってみましょう。解答を示します。

【問題1】

\((4x+1)(3x+1)(2x+1)(x+1)＝3x^4\)　の実数解を求めてください。
（一橋大）

【解答1】

左辺を展開するのでは、回り道でしょう。

\((4x+1)(x+1)＝4x^2+5x+1、(3x+1)(2x+1)＝6x^2+5x+1\)　だから、
\(X＝4x^2+5x+1\)　とおくと、
\(X(X+2x^2)＝3x^4\)
よって、\((X+3x^2)(X－x^2)＝0\)
\((7x^2+5x+1)(3x^2+5x+1)＝0\)
から実数解は、
\(ｘ＝(－5±\sqrt{13})/6\)

【問題2】

\(z\)　を複素数とします。\((i－1)z/i(z－2)\)　が実数になるように　\(z\)　が動くとき
\(z\)　は複素数平面上で、どんな曲線を描きますか。
（神戸大）

【解答2】

\(w=(i－1)z/i(z－2)\)　とおくと、題意の条件は、\(w=\bar{w}\)
これより、\(\vert (ｚ－(i+1) \vert＝\sqrt{2}\)
すなわち、中心　\(1+i\)　半径　\(\sqrt{2}\)　の円です。

【問題3】

平行四辺形　\(ABCD\)　の辺　\(CD\)　上の与えられた点　\(E\)　を通る直線をひき、\(AD,AB\)　との
交点をそれぞれ、\(P,Q\)　とします。\(△PAQ\)　と平行四辺形　\(ABCD\)　が等積になるように
するには、どのようにすればいいですか。
（名工大）

【解答3】

\(∠DAB=α、AB＝a、AD=ｂ、DE=c、AQ=x、AP=y\)　とします。
\(ABCD＝△PAQ\)　だから、\(xy=2ab\)
また、\(△PDE∽△PAQ\)　より　\((y－b)/ｙ＝c/x\)
よって、\(x^2－2ax+2ac=0\)　から、\(x=a±\sqrt{a^2－2ac}\)
\(a^2－2ac＝CE^2－DE^2\)　ですから
\(BQ＝\sqrt{CE^2－DE^2}\)　のように　\(Q\)　をとればよいです。

【問題4】

\(x\)　の関数　\(\displaystyle \sum_{k=1}^n (a^ｋ－x)^2\)　の最小値を　\(M_n\)　とします。
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } M_n\)　を求めてください。
（九州工大）

【解答4】

工科系大学らしい計算力をみる問題です。計算をきちんとやれば、できます。

\(f(x)＝\displaystyle \sum_{k=1}^n (a^ｋ－x)^2\)
＝\(\displaystyle \sum_{k=1}^n (x^2－2a^kx+a^{2k})\)
＝\(nx^2－2Aｘ+B\)
ただし、\(Ａ＝a+a^2+a^3+････････a^n、B＝a^2+a^4+･････+a^{2n}\)
平方完成すると、
\(f(x)＝n(ｘ－A/n)^2+B－A^2/n\)　で　\(M_n=B－A^2/n\)
\(\vert a \vert≠0\)　なら　\(M_n＝a^2(1－a^{2n})/（1－a^2)－(a^2(1－a^{n})/n(1－a)^2\)　ですから、
(1)　\(\vert a \vert＜0\)　のとき
　　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } M_n＝a^2/(1－a^2)\)
(2)　\(\vert a \vert＞0\)　のとき
　　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } M_n＝∞\)
(３）\(\vert a \vert＝1\)　のとき
　　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } M_n＝0\)
(4)　\(\vert a \vert＝－1\)　のとき
　　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } M_n＝∞\)