理系数学演習－解答編－

理系問題演習

いよいよ、入試まであと少しです。今まで培った力を試すときです。むやみに新しい問題集に手を出すのではなく、今までやった問題の復習に力を入れていきましょう。（早稲田大学理工）

【問題1】

複素数　\(α＝(－1+\sqrt{3})/2\)　に対して

\(S_n＝\displaystyle \sum_{ k = 1 }^{ n } α^{k-1}、T_n＝\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n } kα^{n-1}\)　とおきます。但し、\(α^0=1\)　とします。

(1)　\(S_{3m}　(ｍ＝1,2,3･･･････)\)　を求めてください。
(2)　\(T_{3m}　(m=1,2,3、････････\)　を求めてください。
(3)　\(T_{2020}\)　を求めてください。

【解答1】

（１）\(α^3＝1\)　だから、\(S_n＝0\)
（２）等比数列の和を求める方法を利用します。
\(S_n＝(1-α^n)/(1-α）\)　より　\(S_{3m}＝0\)
（３）\(2020＝2019+1＝3・673+1\)　より
\(T_{2020}＝T_{2019}+2020・α^{2019}\)
＝\((－1+\sqrt{3})/2・673+2020・(α^3)^673\)
＝\((2021-673\sqrt{3}i)/2\)

【問題2】

3次関数　\(f(x)＝x^3－ax－b\)　について考えます。

(1)　\(a>0\)　のとき、\(y=f(x)\)　の極大値と極小値を求めてください。
(2)　次の　\((ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ）\)　を示してください。
(ⅰ）\(27b^2－4a^3>0\)　のとき、3次方程式　\(f(x)＝0\)　はただ１つの実数解をもつ。
(ⅱ)　\(27b^2－4a^3=0　かつ　a＞0\)　のとき、\f(x)=0\)　は異なる2実数解をもつ。
(ⅲ)　\(27b^2－4a^3<0\)　のとき、\(f(x)=0\)　は異なる3実数解をもつ。

【解答2】

（１）\(f'(x)＝3x^2－a\)　より、\(a>0\)　のとき増減表により
極大値は、\(－b+2\sqrt{3}・a\sqrt{a}/9\)
極小値は、\(－b－2\sqrt{3}・a\sqrt{a}/9\)

（２）極値の積は、\(f(\sqrt{-a/3})・f(－\sqrt{-a/3})＝(27ｂ^2－4a^3)/27\)　であることから、
図を参照して、題意のことがいえます。
例えば、\(a≦0\)　なら、\(f'(x)≧0\)　だから\(f(x)＝0　はｄただ1つの実数解をもちます。

【問題3】

関数　\(f(x)\)　を次の積分で定義します。

\(f(x)＝\displaystyle \int_{x}^{ｘ+\log 2} \vert e^{2t}－e^ｔ－2 \vert dt\)

(1)　\(f(x)\)　を求めてください。
(2)　\(y=f(x)\)　が極値をとる　\(x\)　の値を求めてください。

【解答3】

\(g(t)＝e^{2t}－e^ｔ－2 \)　とおくと　\(g(t)＝(e^t－2)(e^t+1)\)
また、\(g'(t)＝e^t（e^{2t}－1)\)
\(g(t)=＝0　なら、t=log2\)　\(g'(t)＝0　なら　t=－log2\)

ⅰ)　\(x+log2≦log2\)　のとき　つまり、\(x≦0\)　なら
\(f(x)＝－3/2e^{2x}+e^ｘ+2log2\)
ⅱ）\(ｘ≦log2≦ｘ+log2　つまり　0≦ｘ≦log2\)　のとき
\(f(x)＝5/2e^{2x}－3e^ｘ－4ｘ+2log2\)
ⅲ）\(ｘ≧log2\)　のとき
\(f(x)＝3/2・e^{2x}－e^x－2log2\)

（２）（１）より、\(f'(x)\)　を求め、極値をとる　\(x\)　を求めると

\(－log3、log(3+\sqrt{89}/10）\)

【問題4】

\(O\)　を原点とする座標平面上に
放物線　\(C_1:y=x^2\)　円\(C_2：x^2+(y-a)^2＝1　(a≧0)\)　がある。

\(C_2\)上の点　\((0,a+1)\)　における接線と　\(C_1\)　が2点　\(A,B\)　で交わり、\(△OAB\)　が　\(C_2\)　に外接しています。
(1)　\(a\)　をも求めてください。
(2)　点　\((s,t)\)　を　\((－1、1)、(1，ａ）、（０，ａ－１）\)　と異なる　\(C_2\)上の点とします。\(s,t)\)　における\(C_2\)　の接線と　\(C_1\)との2つの交点を、\(P(α、α^2),Q(β、β^2)\)　とします。
このとき、\((α－β)^2－α^2β^2\)　は　\(s,t\)　によらない一定の定数であることを示してください。
(3)　(2)において、\(P(α、α^2)\)　から\(C_2\)への２つの接線が再び　\(C_1\)　と交わる点を　\(Q,R\)　とします。直線　\(QR\)　は、\(C_2\)と接することを示してください。

【解答4】

（１）\(A,B\)　の座標は、\((±\sqrt{a+1}、a+1)\)　より　\(OA,OB\)　は
\(y=±\sqrt{a+1}ｘ\)　で表されます。
よって　中心　\(D(0,a)\)　とすれば、\(D\)　から、\(OA,OB)\)　の距離が、\(1\)
\(\vert a \vert(/\sqrt{1+a+1}＝1\)
\(a>0\)　より　\(a=2\)

（２）\(PQ\)　の傾きは、\(α+β\)
\(PQ\)は、\((α+β)ｘ－ｙ－αβ＝0\)
\(D(0,2)\)　からの距離が、\(1\)　だから　距離を考えて
\((α－β)^2－α^2β^2＝3＝一定\)

（３）\(QR=1\)　を示せばいいことになります。