覚えておくとよい解析学の公式

入試問題で覚えておいた方がいい公式

ほとんどが大学レベルの項目ですが、このようなものを題材にした問題もでますので、頭に入れておいたほうがいいと思います。

（１）単調有界数列

数列　\(a_n\)　が　\(a_1≦a_2≦･･････････\)、または　\(a_1≧a_2≧･･･････\)　のとき　\(a_n\)　は単調増加　または　単調減少といいます。
単調増加数列の場合、すべての　\(n\)　に対して　\(a_n≦C\)　、単調減少数列の場合　\(a_n≧C’\)　となる定数　\(C,C’\)　が存在するとき
数列は単調有界といい、\(a_n\)　は収束します。

（２）2項定理

\((a+x)^n＝a^n+na^{n-1}+n(n-1)/2！a^{n-2}ｘ^2+･････････+ｘ^n\)

（３）テイラーの定理

\(f(x)\)　が　\(n\)　次まで微分可能のとき

\(f(x+h)＝f(x)+f'(x)ｘ+f”(x)/2！h^2+･･････････+f{n}(x+θh)/n!h^n　(0<θ＜1)\)

（４）テイラー級数

テイラーの定理で、\(n→∞\)　のとき、最後の剰余項が　\(0\)　に収束するなら

\(f(x+h)＝f(x)+f'(x)ｘ+f”(x)/2！h^2+･･････････\)

（５）マクローリン級数

テイラー級数で、\(x=0、h=x\)　とおくと

\(f(x)＝f(0)+ｆ'(0)x+ｆ”(0)/2！･x^2+･･･････････\)

[代表的な例」
\(e^x＝1+ｘ+x^2/2!+x^3/3!+･･･････････\)
\(sinx＝ｘ-x^3/3!+x^5/5!-･･･････････\)
\(cosx＝1-x^2/2!+x^4/4!-･･････････････\)

（6）求積によく使われる定積分

（6-1）2次方程式　\(f(x)=ax^2+bx+ｃ＝0\)　の2解を　\(α、β　(α＜β）\)　とすると
\(\displaystyle \int_{α}^{β} f(x) dx＝a(α－β)^3/6\)

（6-2）\(f(x)\)　を2次または3次の多項式とすると、任意の　\(a、b\)　に対し
\(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx＝(b-a)/6･(f(a)+4f((a+b)/2）+f(b))\)

（7）絶対積分不等式

\(f(x)、g(x)\)　を　\(a≦x≦ｂ\)　で定義された連続関数とするとき

\(\displaystyle \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx・\displaystyle \int_{a}^{b} (ｇ(x))^2 dx≧(\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)・g(x) dx)^2\)

（8）回転体の体積

回転体の体積は、回転する平面図形の面積と、その重心が回転するときにえがく円周の長さの席に等しい。
（パップス・ギュルダンの定理）