円周率πのお話し

円周率πの重要性

数学において重要な定数がいくつかあります。\(e\)、\(i=\sqrt{-1}\)、そしてここで取り上げる円周率　\(π\)　などです。実はこの3つの数は、不思議な縁で結びついてもいます。\(π\)　は、円における円周の長さを　\(L\)、半径を　\(r\)　とすると、\(π＝L/(2r)\)　であることが、円周率の定義です。\(π\)　にはいろんな面白い性質があります。\(π\)　は無理数であり、かつ超越数（代数方程式の解になりえない）でもあります。

\(π\)　に関する問題

【問題1】

円周率を　\(π\)　とするとき、次の不等式を証明してください。

（１）\(π＞3\)　　　（中学受験問題？）
（2）\(π＞3.05\)　　（東京大学）

【問題２】

\(π\)を円周率、\(e\)　を自然対数の低とするとき、次の不等式を証明してください。

\(\displaystyle \int_{ 0 }^{ π } e^xsin^2x dx＞8\)

（東京大学）

【問題3】

\(π\)　を円周率とし、\(I_n＝π^{n+1}/ｎ！\displaystyle \int_{0}^{1} t^n(1-t)^nsinπt dt\)　\((n=0,1,2･････)\)　とします。

（１）\(I_{n+1}＝(4n+2)/π・I_n－I_{n-1}\)　を示してください。\(n=1,2,3･･････)\)
（２）任意の正の整数に対して、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a^nI_n\)　を求めてください。
任意の正の数　\(b\)　に対して　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b^n/n!= 0\)　であることを用いてもよい。
（３）\(π\)　が無理数であることを示してください。

（大阪大学）

【問題4】

\(I_n＝\displaystyle \int_{0}^{π/2}sin^nx dx＝\displaystyle \int_{0}^{ π/2} cos^nｘ dx\)　とすると

(1)　\(I_nとI_{n-2}\)　の漸化式を求めてください。　ただし　\(n≧2\)
(2)　\(I_n\)　を求めてください。
(3)　\(S_n＝\displaystyle \int_{0}^{π/2}x^2cos^{2n}x dx\)　とすると
\(S_{n-1}－2n/(2n-1)･S_n＝2/(2n(2n-1))・I_{2n}　(n≧1)\)　であることを示してください。
(4)　\(N\)　は整数で　\(N≧1\)　とすると、次式をしめしてください。
\(S_N＝((2N-1)(2n-3)･･･････5･3･1)/(2N(2N-2)････････4･2)・π/4（π^2/6－\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{ N } 1/n^2)\)
(5)　\(S_N≦1/(2N+2)・((2N-1)(2n-3)･･･････5･3･1)/(2N(2N-2)････････4･2)・(π/2)^3\)
であることを示してください。
(6)　\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{ ∞} 1/n^2＝π^2/6\)　であることを示してください。

（日本女子大学）