模擬試験－解答編－

模擬試験対策

夏休みに入り、来年2020年の入試に備えて、河合塾、駿台予備校などで模擬試験が実施されます。2020年が正式に最後のセンター試験になりますから、しっかり対策しておきましょう。河合塾では、全統マーク模試、全統記述模試、駿台では、9月になりますが駿台ベネッセマーク模試、駿台全国判定模試、駿台ベネッセ記述模試などがあります。志望校をよく考えどの模試を受験するか考えてください。

問題演習

【問題1】

\(a\)　を自然数とするとき、任意の整数　\(n\)　に対して、\((n^3+an)/6\)　も整数になるような最小の　\(a\)　を求めてください。
(法政大学）

【解答1】

\((n^2+an)/6\)　に　\(n=1\)　とすると、\((1+a)/6\)　よって自然数　\(a\)　は　\(5\)　以上です。
\(a=5\)　とすると、\((n^3+an)/6＝(n^6+5n)/6\)　で
\(分子＝n^3-n+6n＝(n-1)n(n+1)+6n＝6の倍数\)　よって、\(a\)　の最小値は　\(5\)

【問題2】

空間に3点　\(A(3,0,0)、B(0,4,0)、C(0,0,5)\)　があります。
（１) 3点　\(A,B,C\)　を通る平面と、\(xy\)　平面とのなす角を　\(α\)　とするとき、　\(tan α\) を求めてください。
（２）原点　\(O\)　から　平面　\(ABC\)　に下した垂線の足を　\(H(x,y,z)\)　とするとき　\(x:y:z\)　を求めてください。
（北海道大学）

【解答2】

（１）平面　\(ABC\)　の方程式は、\(ｘ/3+ｙ/4+z/5=1\)　⇔　\(20x+15y+12z=60\)
よって、\(xy\)　平面は、ベクトル　\((1、1、-1)\)　に垂直ですから
\(cosα＝(20･0+12・0+12・1)/(\sqrt{20^2+15^2++12^2}・\sqrt{1^2}）＝12/\sqrt{769}\)
（２）平面　\(ABC\)　は、ベクトル　\((20,15,12)\)　に垂直だから、\(x:y:z=20:15:12\)

【問題3】

凸多角形の内角のうち、鋭角は　\(3個\)　より多くはないことを証明してください。
（東京芸術大学）

【問題3】

3角形で題意はなりたちます。
4角形では、内角の和が　\(2π\)　だから　4つの内角がすべて鋭角になることはありません。
次に　\(n\)　角形　\((n≧5)\)　で、内角で鋭角のものが、４つあるとすると、内角の和は
\((n-2)π\)　だから、残りの　\((n-4)\)　個の内角の和は
\((n-2)π－π/2・4=(n-4)π\)　となります。
一方、多角形の内角は、すべて　\(π\)　より小さいから不合理となります。
従って、多角形の内角のうち、鋭角は3個よりは大きくありません。

【問題4】

\(a^b＝b^a\)　\(a≠b\)　の正の整数解を決定してください。
（早稲田大学）

【解答4】

与えられた式から、\(a,b>0\)　より　\(loga/a＝logb/b\)
よって、\(y=logx/x　(x>0)\)　を考え、\(y’＝(1-logx)/x^2、y”＝(2logx-3)/ｘ^3\)　から
\(y=logx/x\)　のグラフの概形を考察する。
\(x=e\)　で極大かつ最大を取り、\(x=e^{3/2}\)　が変曲点です。
また、\(x>0\)　で　\(x=1\)　で　\(y=0\)

従って、\(1<x<e\)　の間に　整数　\(a,b\)　を取ります。
よって、\(a=2\)　とすると、\(b=4\)
（答）　\((a,b)＝(2,4)、(4,2)\)

【問題5】

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } 1/n･log((2n)!/(n!n^n))\)　を求めてください。
（京都府立大学）

【解答5】

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } 1/n･log((2n)!/(n!n^n))\)
＝\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } 1/n･log(1+1/n)(1+2/n)････････(1+n/n)\)
＝\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } 1/n･\displaystyle \sum_{ ｋ= 1 }^{ n } log(1+k/n)\)
＝\(\displaystyle \int_{1}^{2} logx dx　＝2log2-1\)

【問題6】

サイクロイド　\(x=a(１－sint)　y=a(1－cost)　(a>0、0≦t≦２π)\)について
（１）\(x軸\)　と\(30°\)　の角をなすなす接線が　\(x軸\)　と交わる点の座標を求めてください。
（２）\(x軸\)　の周りに開店して得られる立体の体積を求めてください。

【解答6】

to be continued

(体積）：\(5π^2a^3\)