理系数学問題演習

理系数学問題演習

理系の数学では、数Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、A、B　が範囲になりますが、国立大学ではほとんど　\(5割\)　程度数Ⅲの範囲の問題になります。私立大学もいわゆる難関大では数Ⅲの比率がおおくなります。国立では2次試験はほぼ記述式、私立大学では、ほとんどの大学がマーク式です。私立であっても数学の問題演習は、記述式の問題で演習すべきです。記述問題をしっかりやっていれば、マーク式は易しい問題だからです。極限、微積分、複素数平面、2次曲線をしっかりやりましょう。

理系問題演習

【問題１】

正の数　\(p\)　があって、その小数部分を　\(q\)　とします。
\(p^3+q^2＝6p\)　であるとき　\(p\)　の値を求めてください。

【問題2】

\(f(x)＝\vert logx\vert　\)　とします。
\(２･f((a+b)/2)＝f(a)=f(b)\)　となる関係を満たすとすれば、\(3<b<4\)　を満たす実数　\(b\)　が少なくとも１つ存在することを示してください。
ただし、　\(0<a<b\)　とします。

【問題3】

(1)　\(0<x＜π/2\)　のとき、\(sinx＜ｘ＜tanx\)　が成り立つことを2つ以上の方法で証明してください。
(２）次の不等式を証明してください。
\(\displaystyle \sum_{ ｋ= 1 }^{∞} sin^2π/2^k＜π/3･\displaystyle \int_{ 0 }^{ 2π } \vert sinx\vert dx\)

【問題4】

3次曲線　\(y=f(x)＝ax^３+bx^2+cx\)　\((ab≠0)\)　に原点から接線　\(l_1\)　をひいて、その接点を　\(P_1(x_1,y_1)\)　とします。
\(P_1\)　から　\(y=f(x)\)　に接線　\(l_2\)　をひき　接点を　\(P_2(x_2、y_2)\)　とし、以下同様に点列　\(P_1,P_2、･･･････、P_n\)　を作ります。
このとき、点列の　\(n→∞\)　の極限の位置の座標を求めてください。但し　点列はすべて異なるものとします。

【問題5】

\(xy\)　平面で　\(y=\sqrt{ｘ+\sqrt{x^2+1}}+\sqrt{ｘ－\sqrt{x^2+1}}\)　のグラフと
放物線　\(x=y^2+1\)　と　\(x軸\)　で囲まれる部分の面積を求めてください。