数ⅠAの問題－やや難－

数ⅠAの問題

すでに基本的、標準的な数ⅠAの問題をやりましたが、少しレベルの高い問題をやってみましょう。

数ⅠAの問題

【問題1】

自然数を要素とする空でない集合　\(G\)　が次の条件を満たすものとします。
（１）\(m,n\)　が　\(G\)　の要素ならば、\(m+n\)　も　\(G\)　の要素である。
（２）\(m,n\)　が　\(G\)　の要素で　\(m>n\)　ならば　\(m－n\)　も　\(G\)　の要素である。

このとき、\(G\)　の最小の要素を　\(d\)　とすると　\(G=( kd :ｋは自然数)\)　であることを示してください。
（お茶の水女子大）

【問題２】

\(1+1/1!+1/2!+･･･････+1/n!+････････\)　は無理数であることを証明してください。

【問題3】

(1)　\(f(x)\)　は整数係数の　\(x\)　の1次以上の整式であり、整数　\(n\)　が　\(f(x)=0\)　の解であるとします。このとき　\(m≠n\)　の任意の　\(m\)　に対して　整数　\(f(m)\)　は　\(n-m\)　で割り切れることを示してください。

（2)　方程式　\(ｘ^5－3x^3+23x^2+ｘ－42＝0\)　の整数解をすべて求めてください。
（同志社大）

【問題4】

立方体のある頂点にマウスがおり1回ごとに頂点から隣の頂点に辺に沿って移動します。各頂点に立つごとにどの方向に進むかは等確立であるとします。
（１）このマウスが最初の頂点に戻るのは必ず偶数回目であることを示してください。
（２）\(2n\)　回の移動で最初の頂点に戻っている確率を　\(p_n\)　とするとき、\(p_n\)　を　\(n\)　で表してください。
（奈良女子大）

【問題5】

任意の自然数　\(n\)　に対して　\(28n+5\)　と　\(21n+4\)　は互いに素であることを証明してください。
（大阪市立大）