数Ⅱの問題演習

数Ⅱの範囲について

数Ⅱは、数Ⅰの基礎を基にして、さらに数学を深めるところです。そして数Ⅲでさらに理解を深める足元を固めるところだとも言えます。数Ⅱでは扱う関数も、三角関数、分数関数、無理関数、指数関数、対数関数と増えてきます。また、自然科学の基礎となる微分・積分法が導入されます。数Bでは、数列やベクトルも学びます。学ぶ範囲が広いところですから、基礎をしっかり学び、数ⅠA,数ⅡB,数Ⅲの高校数学全体をマスターしていただきたいと思っています。
数ⅡBは、文系理系ともに学ぶ必要がありますから、（特に国立大学の場合）頑張っていきましょう。学年はじめですので、取り組みやすい問題からやってみましょう。

数Ⅱの問題

【問題1】

\(a\) を定数とし、\(f(x)＝x^3－3ax^2+a\)　とします。\(x≦2\)　の範囲で　\(f(x)\)　の最大値が　\(105\)　になるような　\(a\)　を求めてください。
（一橋大）

【問題2】

実数　\(x,y\)　が　\((\log_{ 3} x)^2+(\log_{ 3 } y)^2＝\log_{ 3 } x^2－\log_{ 3} y^2\)　を満たすとき
\(\log_{ 3} x、xy、x/y\)　のとりうる範囲をそれぞれ求めてください。
（青山学院大）

【問題3】

\(y=４sinθcosθ+2(sinθ+cosθ）+1\)　とします。
\(0≦θ≦π\)　における　\(y\)　の最大値と最小値を求めてください。
（奈良女子大）

【問題4】

公比が正である等比数列　\(a_n\)　において、\(a_2=2、a_4=8\)　であるとします。
また、数列　\(b_n\)　は、初項から　第　\(n\)　項までの和　\(S_n\)が　\(S_n＝n^2+ｎ+1\)　となるような数列とします。
（１）数列　\(a_n\)　の公比を求めてください。
（２）数列　\(b_n\)　の一般項を求めてください。
（３）\(b_3<ｘ≦b_{n+3}\)　を満たす整数　\(x\)　の個数を　\(c_n\)　とします。
\(c_1a_1+c_2a_2+････････+c_na_n\)　を　\(n\)　の式で表してください。
（進研）