理系数学演習－解答編－

理系数学演習

2019年の国公立大学入試ももうすぐとなりました。今回は理系数学として、問題演習をやって見ましょう。

理系数学問題

まず略解をしめします。

【問題１】

次の定積分の値を求めてください。

$\displaystyle \int_{0 }^{π} ｘe^xsinx dx$

（東工大）

【解答1】

$((π－1)e^π－1)/2$

【問題2】

$x$に関する２つの関数　$y_1=x^2$ と $y_2＝ax+b$があります。
$0≦ｘ≦2$の範囲において、$\vert y_2－y_2 \vert$　の最大値を最小にするような係数$a,b$を求めてください。

（京都大学）

【解答2】

$a=2，b=－1/2$

【問題３】

相異なる３つの複素数があります。このうちから重複を許してとったどの２つの積も、これらの３つの数のどれかです。
3数の組を求めてください。

（東工大）

【解答3】

$(0,1,-1)、(1、(-1+\sqrt{3}i)/2、(-1-\sqrt{3}i)/2)$

【問題４】

$2n$個の整数があるとします。これらを$n$個ずつの2組に分けるとき、どのように分けても各組の数の和のあいだの差は$n$より小さいとします。
このとき、$2n$個の整数のうち、等しいものが少なくとも　$n+1$　個あることを証明してください。

（名古屋大）

【解答4】

$2n$個の整数を　$x_1≦x_2≦･････････≦x_{2n}$とします。
このとき、これらを２組に分けたときに、そのおのおのの組の和の差が最も大きくなるのは、

$(x_1、x_2、････････、x_n)$　と　$(x_{n+1}、x_{n+2}、･･････････、x_{2n})$
の２つに分けたときで

$P=(x_{n+1}+x_{n+2}、･･････････、x_{2n})－(x_1+x_2+････････+x_n）$
＝$(x_{n+1}－x_1）+･･･････････+(x_{2n}－x_n)$
であり、各項は全て負でありません。
また、全て$1$以上だとすると$P≧n$となり題意に反します。
よって、$x_{n+i}＝x_i$となる$i$が少なくとも１つ存在します。

従って、$x_i≦x_{i+1}≦･････････≦x_{i+n}$から、
$x_i＝x_{i+1}＝･･････････＝x_{i+n}$となり、$2n$個の整数の中には等しいものが少なくとも$n+1$個存在します。