問題演習－解答編－

センター直前問題演習

2019年のセンター試験（平成最後のセンター試験）が終わりいよいよ入試の本番です。受験生はラストスパートをかけましょう。

問題解答

【問題１】\(n\)を素数とします。\(n+2\)、\(n+4\)　がともに素数となる\(n\)を全て求めてください。

【解答1】

\(n≡0(mod3)\)でないとすると、\(n≡1,2(mod3)\)　このとき、\(n+2またはn+4≡0（mod3)\)となりますから素数ではありません。
よって、\(n≡0(mod3)\)となります。一方\(n=3\)以外は素数ではありません。よって\(n=3\)となり、このとき　\(n+2=5、ｎ+4＝7\)で素数ですから、\(n=3\)

【問題２】

\(１辺15cm\)の正方形\(ABCD\)があります。\(AD\)の中点を\(E\)とし頂点\(C\)と\(E\)を一致させるように折り返すとします。
折り返したときの辺\(BC\)と辺\(AB\)の交点を\(F\)とします。\(AF\)の長さを求めてください。

【解答2】

答え：\(15/8 cm\)
三角形に対するピタゴラスの定理と相似の関係を使えば出てきます。割合難しいですね。

【問題3】

\(xyz\)平面において、\(xy\)平面上に原点を中心とする半径\(2\)の円\(C\)があるとします。
また、点\((0,1,0)\)を通りベクトル\((1,1,-2)\)に平行な直線を\(l\)とします。
この\(l\)上の動点\(P\)から最短距離にある\(C\)上の点を\(Q\)とします。点\(P\)が\(l\)の全体を動くとき点\(Q\)の動く範囲を求めてください。

【解答3】

\(C\)上の点を\(R\)とすると、\(R(2cosθ,2sinθ\)　\(0≦θ＜2π)\)　おくことが出来ます。

また、直線\(l\)上の点\(P\)は条件より、\(P(t,t+1,-2t)\)とおくことができます。

\(P\)を固定して\(R\)を動かすと
\(PR^2＝6t^2+2t+5－(tcosθ+(t+1)sinθ)\)となりますから、
\(PR\)は、\(tcosθ+(t+1)sinθ)\)　が最大になるときに最小になります。

\(\vec{ a }=(t,t+1)\)、\(\vec{ b }=(cosθ,sinθ)\)とおけば、

\(tcosθ+(t+1)sinθ＝\vec{ a } \cdot \vec{ b }\)ですから、これは、\(\vec{ a } \parallel \vec{ b }\)　となります。
ここで、点\(H(t,t+1)\)は、\(y=x+1\)上を動きますから、これは直線\(l\)の\(xy\)平面への正射影であることがわかります。

\(t\)は実数ですから、\(Q\)の動く範囲は、\(xy\)平面上の円\(C\)の\(y=x\)より上の部分となります。