頻出問題演習-解答編-
入試数学
受験の問題には、難しい問題も出題されますが、概して合格の勝負になるのは、いわゆる頻出問題の出来であることが多いものです。今回は、頻出問題をやってみましょう。
頻出問題演習
【問題1】
複素数の数列\(z_n\)を次式によって定めるものとします。
\(z_1=1+i\) \(z_{n+1}=(2-i)z_n+\bar{z_n}\) \((n=1,2,3・・・・・・・・)\)
また、\(z_n=x_n+iy_n\)とし、\(x_n,y_n\)は実数、\(i\)は虚数単位とし、\(\bar{z_n}\)は\(z_n\)の共役複素数とします。
(1) \(x_n+y_n\)を求めてください。
(2) \(x_n,y_n\)を求めてください。
(3) \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } y_n/x_n\) を求めてください。
【解答1】
(!) \(z_1=1+i\) より \(x_1=1、y_1=1\)
条件式から、\(x_{n+1}+iy_{n+1}=(3x_n+y_n)+i(-x_n+y_n)\)
よって、\(x_{n+1}=3x_n+y_n、y_{n+1}=-x_n+y_n\)
従って、\(x_n+y_n=2(x_{n-1}+y_{n-1})=2^n\)
(2) (1)より、\(x_{n+1}=2x_n+2^n\)⇔\(x_{n+1}/2^{n+1}=x_n/2^n+1/2\)
よって、\(x_n/2^n=1/2・(n-1)+1/2\)から\(x_n=n・2^{n-1}\)
また、\(y_n=(2-n)・2^{n-1}\)
(3) (2)より、
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } y_n/x_n=\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(2-n)/n=-1\)
【問題2】
袋のなかに\(1から9\)までの異なる数字をつずつ書いた\(9\)枚のカードが入っています。この中から1枚を取り出し、数字を調べて袋に戻します。
この試行を\(n\)回繰り返したとき、調べた\(n\)枚のカードの数字の和を\(x_n\)が偶数になる確率\(P_n\)を求めてください。
【解答2】
\(n\)回目の\(x_n\)が偶数のときと、奇数のときに分けて考えると、この2つの事象は独立です。
よって、\(X_{n+1}\)が偶数になるのは、\(X_n\)が偶数のとき、\(4/9\)、奇数のとき\(5/9\)です。
従って、\(P_{n+1}=4/9・P_n+5/9・(1-P_n)\)=-1/9・P_n+5/9\)
これより\(P_n=1/2・(1+(-1/9)^n\)
【問題3】
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \sqrt[1/n]{(2n)!/n!n^2}\) を求めてください。
【解等3】
\(P_n= \sqrt[1/n]{(2n)!/n!n^2}\) とおきます。
\(P_n=\sqrt[1/n]{(n+1)/n・・・・・・・・・・・・(n+n)/n}=\sqrt[1/n]{(1+1/n)・・・・・・・・・・・(1+n/n)}\)
【問題4】
\(C:x=3cos2t、y=2sin3t (0≦t≦π/3)\) と\(x軸\)で囲まれる部分の面積を求めてください。
【解答4】
グラフの概形を考え、求める図形の面積\(S\)は、
\(S=\displaystyle \int_{-3/2}^{3} y・dx/dt・ dt\)
=\(\displaystyle \int_{ π/3 }^{0} 2sin3t・(-6)・sin2tdt=18\sqrt{3}/5\)