頻出問題演習

入試数学

受験の問題には、難しい問題も出題されますが、概して合格の勝負になるのは、いわゆる頻出問題の出来であることが多いものです。今回は、頻出問題をやってみましょう。

頻出問題演習

【問題1】

複素数の数列\(z_n\)を次式によって定めるものとします。
\(z_1＝1+i\)　\(z_{n+1}＝(2-i)z_n+\bar{z_n}\)　\((n=1,2,3････････)\)
また、\(z_n＝x_n+iy_n\)とし、\(x_n,y_n\)は実数、\(i\)は虚数単位とし、\(\bar{z_n}\)は\(z_n\)の共役複素数とします。
(1)　\(x_n+y_n\)を求めてください。
(2)　\(x_n,y_n\)を求めてください。
(3)　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } y_n/x_n\)　を求めてください。

【問題2】

袋のなかに\(1から9\)までの異なる数字をつずつ書いた\(9\)枚のカードが入っています。この中から1枚を取り出し、数字を調べて袋に戻します。
この試行を\(n\)回繰り返したとき、調べた\(n\)枚のカードの数字の和を\(x_n\)が偶数になる確率\(P_n\)を求めてください。

【問題3】

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } \sqrt[n]{(2n)!/n!n^2}\)　を求めてください。

【問題4】

\(C:x=3cos2t、y=2sin3t　　(0≦t≦π/3)\)　と\(x軸\)で囲まれる部分の面積を求めてください。