数列とベクトルの問題－解答編－

数列とベクトル

数列とベクトルは数B  の単元ですが、融合問題としても出題されることが良くあります。いずれかの問題が2次試験の問題として出題される可能性大です。直前演習として問題を提示いたします。

問題

【問題1】

台形\(ABCD\)において、\(AD=a、BC=b\)　\(AD /\!/ BC\)とします。対角線\(AC,BD\)の交点を\(P_1\)とし、\(CD\)上に点\(Q_1\)を\(P_1Q_1/\!/ AD\)となるようにとります。
つぎに、\(AQ_1、DP_1\)の交点を\(P_2\)とし\(CD\)上に点\(Q_2\)を\(P_2Q_2/\!/ AD\)となるようにとります。以下同様に繰り返して、\(n\)回目にできる線分\(P_nQ_n\)の長さを\(x_n\)とします。
(1)　\(x_n\)を\(a,b,n\)であらわしてください。
(2)　\(△DP_{n+1}Q_n\)の面積を\(F_n\)とし、\(∠DBC=β、∠DCB=γ\)とするとき
\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{ ∞} F_n\)
を求めてください。（東京大学）

【解答1】

(1)　\(P_nQ_n：BC＝DP_n：DB\)　より　\(x_{n+1}＝ax_n/(a+x_n)\)
これより、\(1/x_{n+1}＝1/x_n+1/a\)
よって、\(1/x_n＝(a+nb)/ab\)　⇔　\(x_n＝ab/(a+nb)\)

(2)　(1)より　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } x_n=0\)　ですから、
\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{ ∞} F_n＝△ADP_1\)
正弦定理より、\(BD=bsinγ/sin(β+γ)\)　また　\(P_1D：BD=a:b\)
\(P_1D＝absinγ/((a+b)sin(β+γ))\)
従って、\(\displaystyle \sum_{ n= 1 }^{ ∞} F_n=1/2･AD･P_1Dsinγ\)
＝\(a^2bsinβsinγ/(2(a+b)sin(β+γ))\)

【問題2】

\(xyz\)空間内の正８面体の頂点を\(P_1,P_2,P_3,P_4,P_5,P_6\)とし、ベクトル\(\vec{ v }\)に対し、\(k≠m\)のとき\(\overrightarrow{P_kP_m}･\vec{v }≠0\)が成り立っているとします。このとき、\(k\)と異なる全ての\(m\)に対して、\(\overrightarrow{P_kP_m}・\vec{v}<0\)が成り立つような点\(P_k\)が存在することを示してください。
（京都大学）

【解答2】

\(k≠m\)のとき　\(\overrightarrow{P_kP_m}･\vec{v }≠0\)　だから、
\((\overrightarrow{OP_m}－\overrightarrow{OP_k})･\vec{v }≠0\)　から
\(\overrightarrow{OP_m}･\vec{v }≠\overrightarrow{OP_k}\)
\(\overrightarrow{OP_1}･\vec{v }、\overrightarrow{OP_2}･\vec{v }、･･･････\overrightarrow{P_8}･\vec{v }\)はすべて異なります。
このうち最大のものを、\(\overrightarrow{OP_k}･\vec{v }\)とすれば
\((\overrightarrow{OP_m}－\overrightarrow{OP_k})･\vec{v }<0\)から、\(\overrightarrow{P_kP_m}･\vec{v }<0\)となります。