難関大向け問題演習

難関大学にむけて

2018年度の入試も真っ盛りです。センタ試験から、私立大学入試を向かえ、そしてメインイベントの国立大学の２次試験が2月25日/26日にあります。
２段階選抜ですから、センター試験の成績で足切りのあるところもありますが、不幸にも足切りにあった人は、私立大学や後期試験に備えてください。
ここでは、特に東京大学、京都大学、東工大、などの難関大を受験する人にむけて、いわゆる難しい問題を選択してみました。頑張って解いてみてください。

難関大学対応問題

【問題1】

\(a\)を定数として、\(0<a<π/2\)とします。

方程式　\(x(1－cosx)＝sin(x+a)\)　　を考えます。

(1)　\(n\)を自然数として、この方程式は、\(2nπ<x<2nπ+π/2\)にただ一つの解を持つことを示してください。
(2)　(1)の解を、\(x_n\)とおきます。\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (x_n－2πｎ) \)を求めてください。
(3)　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\sqrt{n}( x_n－２nπ)\) を求めてください。

【問題2】

(1)　さいころを\(4\)回なげて、でた目を順に\(a,b,c,d\)とします。
\(f(x)＝ax^3+bx^2+cx\)に対して、\(f(d)\)が素数となる確率を求めてください。

(2)　さいころを\(6\)回なげて、そのでた目を順に、\(a,b,c,d,e,f\)とします。
２つの放物線　\(y=ax^2+bx+c、 y=dx^2+ex+f\)　がただ一つの共有点をもつ確率を求めてください。

【問題3】

関数\(f(x)\)は、1次導関数、2次導関数を持つものとします。
また、\(f(x)\)は、\(0≦x≦1\)で、\(f(x)>0\)　　\((f'(x))^2≦f(x)･f”(x)≦2((f’x))^2\)　を満たしているとします。
このとき次の不等式を示してください。

(1)　\(f(1/2)≦(a+b)/2\)
(2)　\(f(1/3)≦\sqrt[3]{a^2b}\)
(3)　\(f(1/4)≧4ab/(a+3b)\)
(4)　\(\displaystyle \int_{0}^{1} f(x) dx ≦1/4･a+1/2･\sqrt{ab}+1/4b\)

【問題4】

全ての素数を小さい順に並べた無限数列を、\(p_1,p_2,････････p_n･･･････\)とします。

(1)　\(n\)を自然数とするとき、

\(\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n } 1/k<(1－(1/p_1)^{n+1}/(1－1/p_1) ･(1－(1/p_2)^{n+1}/(1－1/p_２)  ･････････\)
････\((1－(1/p_n)^{n+1}/(1－1/p_n)\)
を証明してください。

(2)　無限級数

\(\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ ∞ } (－log（1－1/p_k)\)　発散することを証明してください。

(3)　無限級数

\(\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{ n } 1/p_k\)　は発散することを証明してください。