多面体の問題－解答編－

正多面体について

正多面体は、よく知られているように、正4面体、正6面体、正８面体、正１２面体、正２０面体の５種類が存在することが知られています。また、この５種類以外に正多面体は存在しないことも知られています。また、凸多面体の頂点の数を\(v\)、辺の数を\(E\)、面の数を\(F\)とすると、有名なオイラーの多面体定理が成り立ち、\(V-E+F＝2\)　であることが良く知られています。証明は数学的帰納法を使う方法など、いろいろ知られています。ここでは、多面体に関する問題を考えてみましょう。入試問題にも出題された問題です。

凸多面体に関する問題

1辺の長さが\(1\)である正5角形と正６角形があるとします。これらを組み合わせてできる凸多面体の表面積を求めてください。ただし、正５面体は互いに隣り合わないものとします。

（注）問題文は短いですが、数学的にきちんと考えることが要求されます。問題の本質は、表面積を求めることですので、途中の誘導過程は省略します。

【解答】

この多面体の正５角形の面の数を\(m\)、正６角形の面の数を\(n\)とします。
１つの頂点に共有される面の数は、\(3\)つですから、\(V=(5m+6n)/3\)となります。また、１つの辺に共有される面は\(2\)つですから、\(E=(5m+6n)/2\)　です。また面の数は、明らかに\(F=m+n\)です。従って、オイラーの多面体定理　\(V-E+F＝2\)　にこれらを代入すると、
\((5m+6n)/3－(5m+6n)/2+(ｍ+ｎ)＝2\)　となりますから、これから、\(m=12\)となります。
また、１つの正5角形の周りには、５つの正6角形が接し、１つの正６角形は3つの正５角形に接していますから、\(n=5ｍ/3＝20\)となります。

ここで、正6角形と正5角形の面の数がでたので、あとは、1辺1cmの正6角形と正５角形の面積を求めればよいことになります。
正6角形の面積\(S_1\)、正５角形の面積\(S_2\)とすると、
\(S_1\)は容易で、\(S_1＝6・1/2・1^2・sin60°＝3\sqrt{3}/2\)となります。

\(S_2\)については、底辺が１で対する角度が、\(360°/5＝72°\)である2等辺３角形の面積\(s\)が求まれば、その5倍が正５角形の面積\(S_2\)となります。
\(α＝72°\)とおき、２等辺３角形の1辺を\(r\)とすると、\(sinα\)と\(r\)が求まればいいことになります。

ここで、\(５α＝360°\)ですから、\(２α+３α＝360°\)　従って　\(sin２α＝sin(360°－３α)＝－sin３α\)
\(2sinαcosα＝－3sinα+４sin^3α\)　⇔　\(4cos^2α+2cosα－1＝0\)
よって、\(cosα＞0\)から、\(cosα＝(\sqrt{5}－1)/4\)
また、\(sinα＝\sqrt{1－cos^2α}\) =\(\sqrt{10+2\sqrt{5}}/4\)
次に\(r\)ですが、余弦定理（ないし正弦定理）を使って、
\(１^2＝r^2+r^2－2r^2cosα\)　から、
\(r^2＝1/2(1－cosα)＝(5+\sqrt{5})/10\)
よって、\(S_2=5×1/2ｘr^2ｘsinα＝5・1/2ｘ(5+\sqrt{5})/10ｘ\sqrt{10+2\sqrt{5}}/4\)
＝\(\sqrt{(25+10\sqrt{5}})/4\)

従って、求める表面積は、
\(20S_1+12S_2＝36\sqrt{3}/2+3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\)　\((cm^2)\)･･･････(答)