数Ⅲ演習

数Ⅲの演習

理系の入試問題によく出題される数Ⅲの問題演習をやってみましょう。理系での２次試験で出題される割合は４割程度の大学がよくあります。理系志望の方は、数ⅠA、数ⅡBはもちろんのこと、数Ⅲも着実に学習していきましょう。

数Ⅲの問題

【問題1】

周の長さが\(l\)(一定）である正\(n\)角形の面積を、\(S_n\)とします。
(1)　\(S_n\)は増加関数であることを示してください。
(2)　数列\(S_n\)は、周の長さが\(l\)である円の面積　\(S\)に収束することを示してください。
（東京医科歯科大）

【問題2】

(1)　関数\(f(x)＝logｘ/x\)の増減を調べ、極値を求めてください。対数は自然対数です。
(2)　\(e<α<β\)を\(α,β\)が満たすとき
不等式　\(α/β<logα/logβ<β/α\)が成り立つことを証明してください。
（順天堂大・医）

【問題3】

(1)　\(y^2＝x^４(x+1)\)の概形を書いてください。（増減、極値、凹凸）
(2)　不等式　\(y^2≦x^４(x+1)\),\(x≦0\)をともに満たす部分の面積を求めてください。
（東北大）

【問題4】

(1)　\(\displaystyle \int_{ -a}^{a} f(x) dx=\displaystyle \int_{0}^{a} (f(x)+f(-x)) dx\)
が成り立つことを証明してください。
(2)　\(\displaystyle \int_{ -π/4}^{π/4} sin^2x/(1+e^{-x}) dx\)　を求めてください。
（慶応大・医）

【問題5】

\(\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{∞} 1/k^2\)は収束することが分かっています。（\(ζ\)関数の\(s=2\)の場合です。）
(1)　これを用いて、\(\displaystyle \sum_{k= 1 }^{∞} 1/(k^2(k+1))\)が収束することを示してください。
(2)　\(\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{∞} 1/k^2\)　および　\(\displaystyle \sum_{k= 1 }^{∞} 1/(k^2(k+1))\)
の値（収束値）をそれぞれ　\(S,T\)とするとき、\(S\)と\(T\)の間に成り立つ関係式を求めてください。
（入試問題です）