論証

論証について

数学において、論理、論証は極めて重要なものです。入試問題でも、必要条件や十分条件等を問うものや、本格的な論理証明を問うものなどが出題されています。論証の問題の答案は、その論理が正確で誤謬のないものを書かなくてはなりません。今回はそういう問題をとりあげてみましょう、

論証の問題

【問題1】

半径\(2\)の円を半径\(1\)の円で完全に覆い尽くすには、半径\(1\)のが最小いくつあればいいでしょうか。

【問題2】

\(6\)つの都市があって、どの2都市間も２つの航空会社のどちらか一方の航空路で結ばれています。このとき、どのように結ばれていても、適当な３都市を選べば、その２都市ずつを結ぶ３つの航空路が、同じ航空会社のものであるようにすることができます。これを証明してください。

【問題3】

多角形の内角のうち、鋭角は\(3\)個よりも多くないことを証明してください。

【問題4】

整数を要素とする集合\(P\)が、以下の条件を満たすものとします。
(1)　\(0\)は\(P\)に属しません。
(2)　\(0\)でない要素\(n\)が\(P\)に属していれば、\(－n\)は\(P\)に属しません。
(3)　\(0\)でない要素\(n\)が\(P\)に属さなければ、\(－n\)は\(P\)に属します。
(4)　整数\(m,n\)が\(P\)に属していれば、\(m+n\)も\(P\)に属します。
(5)　整数\(m,n\)が\(P\)に属していれば、\(mn\)も\(P\)に属します。
このとき、集合\(P\)を求めてください。