学力テスト－解答編その２－

基礎問題その２－解答－

【問題１】

\(0≦k≦2\)の全ての実数値を\(k\)がとるとき、
\(x^2－2kx+2k^2－5＝0\)　の実数解の取り得る範囲を求めてください。

【解答1】

\(2k^2－2xk+x^2－5=0\)が\((0≦k≦2\)の範囲に実数解をもつような\(x\)の範囲を求めればよいです。

\(－\sqrt{5}≦ｘ≦1\)、\(\sqrt{5}≦ｘ≦\sqrt{10}\)となります。

【問題2】

\(a＞０\)、\(x,y\)は実数とします。
\(1/a^x+1/a^y＝10\)のとき、\(a^{2x}+a^{2y}\)の最小値を求めてください。

【解答2】

相乗・相加平均の関係が早いでしょう。
\(a^{2x}+a^{2y}≧2\sqrt{a^{2x}･a^{2y}}\)，\(10＝1/a^x+1/a^y≧2\sqrt{1/a^x･a^y}\)
ですから、\(100(a^{2x}+a^{2y}≧8\)　で等号は成立しますから、最小値は、\(2/25\)

【問題3】

\(0<x<π/2\)とするとき、
\(sinx，cosx, (sinx+cosx)/2\)を３辺とする３角形の面積の最大値およびその時の\(x\)の値を求めてください。

【解答3】

ヘロンの公式を使いましょう。与えられた３辺を、\(a,b,c\)としその3角形の面積を\(S\)とします。

\(2s=a+b+c\)とおくと、
\(S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)となります。相乗・相加平均の関係から
\(\sqrt[ 3 ]{Ｓ}≦1/3･{(s-a)+(s-b)+(s-c)}＝1/3･s\)
よって、\(S≦\sqrt{s･(s/3)^3}＝s^2/(3\sqrt{3})\)
等号は、\(a=b=c\)すなわち正三角形のときに成立します。
このとき、\(s＝3/4･(sinx+cosx)≦3/4･\sqrt{2}\)
よって、\(S\)の最大値は、\(\sqrt{3}/８\)であり、そのときの\(x=π/4\)

【問題4】

次の２つの方程式
\(f(x)＝x^3+3ax^2+3ax+1＝0\)
\(g(x)＝x^2+2x+a＝0\)
が共通な解を持つための条件を求めてください。

【解答4】

\(f(x)\)を\(g(x)\)で割ってみましょう。

\(f(x)＝(x+1)g(x)+(a-1)(2x-1)\)　ですから、
\(f(x)＝0　かつ　g(x)＝0\)
は、\(g(x)＝0　かつ　(a-1)(2ｘ-1）＝0\)
と同値です。
よって、\(a=1，x=-1\)　または　\(x=1/2，a=-5/4\)

【問題5】

\((log\vert x\vert)^2+(log\vert y\vert)^2＝1\)のとき、\(\vert xy\vert\)の最大値と最小値を求めてください。
対数は、常用対数とします。

【解答5】

\((log\vert x\vert)^2+(log\vert y\vert)^2＝1\)　より
\(－\sqrt{2}≦log\vert x\vert+log\vert y\vert≦\sqrt{2}\)
よって、最大値は、\(10^{\sqrt2}\)　最小値は、\(10^{-\sqrt{2}}\)