学力テスト－解答編その２－

基礎問題その２－解答－

【問題１】

$0≦k≦2$の全ての実数値を$k$がとるとき、
$x^2－2kx+2k^2－5＝0$　の実数解の取り得る範囲を求めてください。

【解答1】

$2k^2－2xk+x^2－5=0$が$(0≦k≦2$の範囲に実数解をもつような$x$の範囲を求めればよいです。

$－\sqrt{5}≦ｘ≦1$、$\sqrt{5}≦ｘ≦\sqrt{10}$となります。

【問題2】

$a＞０$、$x,y$は実数とします。
$1/a^x+1/a^y＝10$のとき、$a^{2x}+a^{2y}$の最小値を求めてください。

【解答2】

相乗・相加平均の関係が早いでしょう。
$a^{2x}+a^{2y}≧2\sqrt{a^{2x}･a^{2y}}$，$10＝1/a^x+1/a^y≧2\sqrt{1/a^x･a^y}$
ですから、$100(a^{2x}+a^{2y}≧8$　で等号は成立しますから、最小値は、$2/25$

【問題3】

$0<x<π/2$とするとき、
$sinx，cosx, (sinx+cosx)/2$を３辺とする３角形の面積の最大値およびその時の$x$の値を求めてください。

【解答3】

ヘロンの公式を使いましょう。与えられた３辺を、$a,b,c$としその3角形の面積を$S$とします。

$2s=a+b+c$とおくと、
$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$となります。相乗・相加平均の関係から
$\sqrt[ 3 ]{Ｓ}≦1/3･{(s-a)+(s-b)+(s-c)}＝1/3･s$
よって、$S≦\sqrt{s･(s/3)^3}＝s^2/(3\sqrt{3})$
等号は、$a=b=c$すなわち正三角形のときに成立します。
このとき、$s＝3/4･(sinx+cosx)≦3/4･\sqrt{2}$
よって、$S$の最大値は、$\sqrt{3}/８$であり、そのときの$x=π/4$

【問題4】

次の２つの方程式
$f(x)＝x^3+3ax^2+3ax+1＝0$
$g(x)＝x^2+2x+a＝0$
が共通な解を持つための条件を求めてください。

【解答4】

$f(x)$を$g(x)$で割ってみましょう。

$f(x)＝(x+1)g(x)+(a-1)(2x-1)$　ですから、
$f(x)＝0　かつ　g(x)＝0$
は、$g(x)＝0　かつ　(a-1)(2ｘ-1）＝0$
と同値です。
よって、$a=1，x=-1$　または　$x=1/2，a=-5/4$

【問題5】

$(log\vert x\vert)^2+(log\vert y\vert)^2＝1$のとき、$\vert xy\vert$の最大値と最小値を求めてください。
対数は、常用対数とします。

【解答5】

$(log\vert x\vert)^2+(log\vert y\vert)^2＝1$　より
$－\sqrt{2}≦log\vert x\vert+log\vert y\vert≦\sqrt{2}$
よって、最大値は、$10^{\sqrt2}$　最小値は、$10^{-\sqrt{2}}$