学力テスト-解答編その2-
基礎問題その2-解答-
【問題1】
0≦k≦2の全ての実数値をkがとるとき、
x^2-2kx+2k^2-5=0 の実数解の取り得る範囲を求めてください。
【解答1】
2k^2-2xk+x^2-5=0が(0≦k≦2の範囲に実数解をもつようなxの範囲を求めればよいです。
-\sqrt{5}≦x≦1、\sqrt{5}≦x≦\sqrt{10}となります。
【問題2】
a>0、x,yは実数とします。
1/a^x+1/a^y=10のとき、a^{2x}+a^{2y}の最小値を求めてください。
【解答2】
相乗・相加平均の関係が早いでしょう。
a^{2x}+a^{2y}≧2\sqrt{a^{2x}・a^{2y}},10=1/a^x+1/a^y≧2\sqrt{1/a^x・a^y}
ですから、100(a^{2x}+a^{2y}≧8 で等号は成立しますから、最小値は、2/25
【問題3】
0<x<π/2とするとき、
sinx,cosx, (sinx+cosx)/2を3辺とする3角形の面積の最大値およびその時のxの値を求めてください。
【解答3】
ヘロンの公式を使いましょう。与えられた3辺を、a,b,cとしその3角形の面積をSとします。
2s=a+b+cとおくと、
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}となります。相乗・相加平均の関係から
\sqrt[ 3 ]{S}≦1/3・{(s-a)+(s-b)+(s-c)}=1/3・s
よって、S≦\sqrt{s・(s/3)^3}=s^2/(3\sqrt{3})
等号は、a=b=cすなわち正三角形のときに成立します。
このとき、s=3/4・(sinx+cosx)≦3/4・\sqrt{2}
よって、Sの最大値は、\sqrt{3}/8であり、そのときのx=π/4
【問題4】
次の2つの方程式
f(x)=x^3+3ax^2+3ax+1=0
g(x)=x^2+2x+a=0
が共通な解を持つための条件を求めてください。
【解答4】
f(x)をg(x)で割ってみましょう。
f(x)=(x+1)g(x)+(a-1)(2x-1) ですから、
f(x)=0 かつ g(x)=0
は、g(x)=0 かつ (a-1)(2x-1)=0
と同値です。
よって、a=1,x=-1 または x=1/2,a=-5/4
【問題5】
(log\vert x\vert)^2+(log\vert y\vert)^2=1のとき、\vert xy\vertの最大値と最小値を求めてください。
対数は、常用対数とします。
【解答5】
(log\vert x\vert)^2+(log\vert y\vert)^2=1 より
-\sqrt{2}≦log\vert x\vert+log\vert y\vert≦\sqrt{2}
よって、最大値は、10^{\sqrt2} 最小値は、10^{-\sqrt{2}}