学力テスト問題－解答編その１－

数学の基礎問題－その１－

数学では、基礎のマスターがとても重要です。実力をみるためによい問題をやってみましょう。重要な基礎に関連する問題ばかりです。しっかりやってみましょう。６割～7割以上とれるよう頑張ってみてください。問題は次のリンクです。学力テスト-その１-

基礎問題1

【問題1】

$a>b>1$であるとき、$x+by≧1，ax+y≧1、bx+ay≧1$を満たす範囲で、$z=x+y$の最小値を求めてください。

【解答1】

答え：$(a+b－2)/(ab－1)$
$a>b>1$のもと、３つの領域を図示し、どこで最小値をもつか考えましょう。

【問題2】

$\sqrt{x}+\sqrt{x(x-1)}+\sqrt{1-x}$である$x$の関数の$0≦ｘ≦1$における最大値、最小値を求めてください。

【解答2】

いろいろな方法があると思います。微分して調べるのは基本的ですが、ここでは、数Ⅰ的に解いてみましょう。

$t=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$とおきます。$0≦x≦1$で
$t^2＝1+\sqrt{1/4－(x-1/2)^2}$から、$0≦t≦\sqrt{2}$
与えられた式を、$y=f(x)$とすると、$y=f(t)＝1/2･(t+1)^2－1$
よって、$f(1)≦y≦f(\sqrt{2})$
最小値は、$1+2\sqrt{2})/2$　最大値は、$1$

【問題3】

$z$についての、2次方程式　$z^2－2az+1=0$の解を、$z=x+iy$とおきます。定数$a$が、全ての実数を動くとき、
$P(x,y)$のえがく曲線$C$を求めてください。

【解答3】

$z≠0$は明らかだから、与えられた式を$a$について解くと、$a＝(z^2+1)/2z$です。
$a$は実数ですから、$(z^2+1)/z＝\overline{(z^2+1)/z}$
これを整理すると、$(z\bar{z}－1)(z－\bar{z})=0$
よって、$z\bar{z}＝1，z=z\bar{z}$
$z≠0$を考えて、中心原点で半径$1$の円及び実軸（原点を除く）

【問題4】

$x,y,z$が次数であるとき、$F=(yz+zx+xy)/(x^2+y^2+z^2)$　の最大値と最小値を求めてください。

【解答4】

$x+y+z)^2＝x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$
$x^2+y^2≧2xy、y^2+z^2≧2yz，z^2+x^2≧2zx$
より、$-1/2･(x^2+y^2+z^2)≦yz+zx+xy≦x^2+y^2+z^2$
従って、$F$の最大値は　$1$、最小値は　$－1/2$

【問題5】

周の長さが、一定値$a$である直角3角形において、直角をはさむ2辺の積が最大になるときの３辺の長さを求めてください。

【解答5】

色々な解き方があると思います。３辺をどう置くかが解答の処理速度に影響します。

ここでは、３角関数で解いてみましょう。

直角３角形の１つの鋭角を$θ$とすると、その比は、$1,sinθ,cosθ$となるから、直角をはさむ2辺は、
$asinθ/(1+sinθ+cosθ)，acosθ/(1+sinθ+cosθ)$
$t＝sinθ+cosθ$とおくと、$1<t≦\sqrt{2}$
よって、$sinθcosθ/(1+sinθ+cosθ)^2＝(t-1)/2(t-1)＝1/2－1/(1+t)$
これは、$t=\sqrt{2}$のとき最大値をとり、このとき$θ＝45°$の直角２等辺３角形

(注）直角をはさむ2辺を、$x,y$、斜辺を$z$とおいても2次方程式論で解けますが、少し厄介です。