整数の問題

2017年の整数に関する入試問題

2017年度には整数問題に関する入試問題が結構出題されています。整数の問題は、2015年の新課程入試から、本格的に出題されるようになりました。これ以前にも整数問題は、割合出題されており受験生にも馴染みがあるのかもしれません。今後も出題されるものと思われます。

整数の問題

【問題1】

次の２つの条件(1)、(2)をともに満たす自然数\(N\)を求めてください。
(1)　\(N\)の正の約数は、\(12\)個
(2)\(N\)の正の約数を小さいほうから順に並べたとき、\(7\)番目の数は、\(12\)

ただし、\(N\)の約数は、\(1\)と\(N\)も含めるとします。

【問題2】

\(p,q\)を自然数とし、\(α，β\)を

\(tanα＝1/p\)　、\(tanβ＝1/q\)

を満たす実数とします。このとき

\(tan(α+2β)=2\)

を満たす自然数の組\(p,q)\)を全て求めてください。

【問題3】

\(a,b,c\)　を1以上7以下の相異なる自然数とします。

(1)2次方程式　\(ax^2+bx+ｃ=0\)が有理数解をもつような、自然数の組\(a,b,c)\)の総数を求めてください。

(2)2次方程式　\(ax^2+bx+ｃ=0\)が、少なくとも１つの整数解をもつような自然数の組\(a,b,c)\)の総数を求めてください。

【問題4】

\(n\)を自然数とします。

(1)\(8^n\)を\(11\)で割った余りが\(3\)となる\(n\)を全て求めてください。

(2)\(11^n\)を\(17\)で割った余りが\(4\)となる\(n\)を全て求めてください。

(3)　(1)と(2)の条件を同時に満たす\(n\)を全て求めてください。