ベクトル・数列の問題

ベクトル・数列の演習

数Bで扱われるベクトルと数列は、割合苦手にしている人が多いように思います。ベクトルでは平面ベクトル、空間ベクトルがありますが、空間ベクトルがやや難しくなっています。また数列は、他分野との融合問題や複合問題があります。苦手意識がある人は、問題演習をやって、問題に慣れておきましょう。

ベクトル・数列の問題

【問題1】

\(0≦θ<2π\)とし、\(xy\)平面上で、\(\vec{ a }＝(cosθ，sinθ)，\vec{b}＝(\sqrt{3}/2，1/2)\)とします。
点\(P_n，Q_n　(n=1,2,3,･････････)\)を、\(\overrightarrow{OP_1}＝(1,0)\)
\(\overrightarrow{OQ_n}＝\overrightarrow{OP_n}－(\vec{ a }･\overrightarrow{OP_n})\vec{ a }\)
\(\overrightarrow{OP_{n+1}}＝4(\overrightarrow{OQ_n}－(\vec{b}･\overrightarrow{OQ_n})\vec{b}\)で定めます。
点\(P_n,Q_n\)はそれぞれ一定の直線上にあることを示してください。
（東京大学）

【問題2】

\(xyz\)平面上に3点　\(A(1,0,0)，B(-1,0,0)，C(0,\sqrt{3},0)\)をとります。
\(△ABC\)を１つの面とし、\(z≧0\)の部分に含まれる正4面体\(ABCD\)をとり、さらに\(△ABD\)を１つの面とし、点\(C\)と異なる点\(E\)をもう1つの頂点とする正4面体\(ABDE\)をとります。
(1)　点\(E\)の座標を求めてください。
(2)　正4面体\(ABDE\)の\(y≧0\)の部分の体積を求めてください。
（東京大学）

【問題3】

\(n\)を自然数とします。
(1)　自然数\(k\)は、\(2≦k≦n\)を満たすとします。このとき、\(9^k\)を\(10\)進法で表したときの桁数は、\(9^{k-1}\)の桁数と等しいか、または\(1\)だけ大きいことを示してください。
(2) \(９^{k-1}\)と\(9^k\)の桁数が等しいような\(2≦k≦n\)の範囲の自然数\(k\)の個数を\(a_n\)とします。\(9^k\)の桁数を\(nとa_n\)で表してください。
(3) \(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n/n\)を求めてください。
（神戸大学）

【問題4】

\(n\)を正の整数とします。\(xyz\)空間の点\(P(x,y,z)\)が、次の関係式を満たすとします。
\(x+y+z≦n\)
\(－x+y－z≦n\)
\(x－y－z≦n\)
\(－x－ｙ+ｚ≦n\)
このとき、\(P(x,y,z)\)で、\(x,y,z\)が全て整数であるものの個数を\(f(n)\)とします。

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } f(n)/n^3 \)を求めてください。
（東京大学）

【問題5】

\(a\)は\(0<a<π\)を満たす実数とします。
\(n=0,1,2,････････\)に対し、\(nπ<x<(n+1)π\)の範囲で、\(sin(x+a)＝xsinx\)を満たす\(x\)がただ1つ存在します。これを\(x_n\)とします。
(1)　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }(x_n－nπ)\)を求めてください。
(2)　\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty }n(x_n－nπ)\)を求めてください。
(京都大学）