微積分の問題－解答編－

数Ⅲの微積分の問題

数学の２次試験では、数Ⅲの分野の問題が多く出題されます。なかでも微積分に関する問題は、大学の解析学の基本となるものですから、重要視されています。
計算の面倒な問題も多いですから、丁寧に答案を書くようにしましょう。ただし、時間を忘れてはいけません。2016年最後の問題で有終の美を飾り、来るべき2017年を迎えましょう。頑張れ、受験生。

数Ⅲの微積分問題

【問題1】

$0$以上の整数$n$に対して、次の関数$f_n(x)＝x^nｅ^{1-x}$および定積分$a_n＝\displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x) dx$を考えます。

(1)　$n≧1$に対して、区間　$0≦x≦1$において、$0≦f_n(x)≦1$および　$0＜a_n<1$が成り立つことを示してください。
(２)　$a_1$を求めてください。また、$n>1$で、$a_n，a_{n-1}$の間に成り立つ漸化式を求めてください。
(3)　$e$が無理数であることを示してください。
（大阪大学）

【解答1】

(1)　$0≦ｘ≦1$において、
$f_n'(x)＝(n-x)ｘ^{n-1}e^{1-x}≧0$　より$f_n(x)$は、区間で単調増加します。よって、$0＝f_n(0)≦f_n(x)≦f_n(1)＝1$
上式で、等号は、$x=0　または１$のとき以外は成立しないので、
$\displaystyle \int_{0}^{1}0dx<\displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x) dx<\displaystyle \int_{0}^{1}1dx$
従って、$0＜a_n<1$
(2)　$n≧1$で
$a_n＝\displaystyle \int_{0}^{1} f_n(x) dx＝－1+na_{n-1}$････････①　で　$a_0＝\displaystyle \int_{0}^{1} e^{1-x}dx=e－1$
より、$a_1＝e－2$
(3)　$e$が無理数でないと仮定すると、$e=p/q　(p,qは整数，q≠0)$とかけます。①式より、$qa_n＝－q+n(qa_{n-1}$であり、
$qa_1＝q(e－2)＝p－2q＝整数$なので、$qa_n$は整数となります。$qa_n≠0$より、$\vert qa_n \vert≧1$
また、(2)より、$a_{n-1}＝(a_n+1)/ｎ$　さらに(1)より、$a_{n-1}<2/n$となります。
従って、$0<qa_n<2q/(n+1)$　これに、$n→∞$とすれば、$qa_n→0$となり、矛盾となります。よって、$e$は無理数ということになります。

(注)　$e$の無理数性まで示させる高度な問題です。

【問題2】

定積分$\displaystyle \int_{0}^{π} (e^{-x}－ｐcosx-ｑsinx)^2 dx$　の値を最小にする実数$p,q$の値を求めてください。

（筑波大学）

【解答2】

計算あるのみです。正確でスピーディーな計算力を養っておきましょう。

$\displaystyle \int_{0}^{π} (e^{-x}－ｐcosx-ｑsinx)^2 dx$は、括弧のなかを計算し、積分すれば$p,q$の式になります。

$\displaystyle \int_{0}^{π} (e^{-x}－ｐcosx-ｑsinx)^2 dx$
＝$π/2p^2+π/2q^2－(1+e^{-π})p－(1+e^{-π})q+1/2(1－e^{-２π}$となりますから、
$p=q=(1+e^{-π})/π$のときに、最小となります。

【問題3】

$x≧0$を定義域とする関数列　$f_0(x),f_1(x),･･････････f_n(x),･･････････$を次のように定めます。

$f_0(x)＝1,　f_n(x)＝\displaystyle \int_{0}^{x} f_{n-1}(x)/(t+1)dx　(n≧1)$

(1)　$f_1(x)，f_2(x)，f_3(x)$を求めてください。
(2)　$f_n(x)$をもとめてください。
(3)　曲線$y=f_n(x)　(n≧1)$、直線$x=a(a>0)$および$x軸$で囲まれる図形の面積を$S_n(a)$とします。
このとき、次式　$S_n(a)+S_{n+1}(a)＝(a+1)/(n+1)!$を満たす$a$の値を求めてください。
(4)　無限級数　$\displaystyle \sum_{k= 1 }^{∞} (－1)^k/k!$の値を求めてください。
（東京医科歯科大学）

【解答3】

略解のみ（詳解は、2017年お正月に公開します。）
(1)　$f_1(x)＝log(x+1)，f_2(x)＝1/2(log(x+1))^2，f_3(x)＝1/6(log(x+1))^3$
(2)　$f_n（ｘ)＝1/n!(log(x+1))^n$
(3)　$a=e－1$
(4)　$\displaystyle \sum_{k= 1 }^{∞} (－1)^k/k!＝1/e－1$

【詳解】
(1)　$f_1(x)＝\displaystyle \int_{0}^{x}1/(t+1) dt＝log(x+1)$
$f_2(x)＝\displaystyle \int_{0}^{x}log(t+1)/(t+1) dt＝1/2･(log(x+1))^2$
$f_3(x)＝\displaystyle \int_{0}^{x}(log(t+1))^2/2(t+1) dt＝1/6･(log(x+1))^3$

(2)　$f_n(x)＝1/n!･(log(x+1))^n$と予想できますから、数学的帰納法で容易に証明できます。やってみましょう。

(3)　$f_n(0)＝0，x>0でf_n(x)>0$だから、
$S_n(a)+S_{n+1}(a)＝1/n!･\displaystyle \int_{0}^{a}(log(t+1))^ndx+1/(n+1)!･\displaystyle \int_{0}^{a}(log(t+1))^{n+1}dx$
=$(a+1)/(n+1)!･(log(a+1))^{n+1}$　となりますから、

条件式から、$(a+1)/(n+1)!･(log(a+1))^{n+1}＝(a+1)/(n+1)!$

従って、$(log(a+1))^{n+1}＝1$　となります。$log(a+1)>0$より、$log(a+1)＝1$　よって、$a=e-1$

(4)　当然１～３がヒントになっています。無限級数の和をどうやって求めるのか。挟み撃ちがにおいます。

(3)より$a=e-1$のときに、$e/n!＝S_{n-1}(a)+S_{n}(a)$
よって、$\displaystyle \sum_{k= 1}^{n} (－1)^k/k!$
＝$1/e･\displaystyle \sum_{k= 1 }^{n} (－1)^k(S_{k-1}(a)+S_k(a)$
また、$\displaystyle \sum_{k= 1}^{n} (－1)^k(S_{k-1}+S_k$
＝$－S_0+(-1)^nS_n$　より
$(\displaystyle \sum_{k= 1 }^{n} (－1)^k/k!＝1/e･(－S_0(a)+(-1)^nS_ｎ(a)$
$S_0＝e-1$で、$f_n(x)はx≧0$で単調増加だから、
$0≦S_n(a)＝1/n!･\displaystyle \int_{0}^{a}(log(x+1))^ndx≦a/n!･(log(a+1))^n＝(e-1)/n!$
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (e-1)/n!＝0$より、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }S_n(a)＝0$

よって、$\displaystyle \sum_{k= 1 }^{∞} (－1)^k/k!=1/e･(－S_0(a))＝1/e･(1-e)＝1/e－1$