難関大後期－東工大・解答編－

難関大後期試験－東工大－

難関大の後期試験は、倍率が高くなりますし、時間も十分とられる場合が多く、結構難問が出題されることがあります。史上最高の難問と言われているのも東京大学の後期試験でした。ここでは、東工大の後期試験の問題の解法を考えてみましょう。

東工大後期の問題

【問題1】

【1】実数\(a_1,a_2，x_1，x_2，y_1,y_2\)が次の条件を満たしているとします。
\(0<a_1≦a_2\)
\(a_1x_1≦a_1y_1\)
\(a_1x_1+a_2x_2≦a_1y_1+a_2y_2\)

このとき、\(x_1+x_2≦y_1+y_2\)　であることを証明してください。

【2】\(n\)を\(2\)以上の自然数とし、\(3n\)個の実数\(a_1,a_2,･･････；x_1,x_2，･･････，x_n；y_1，y_2，･･････，y_n\)が、
\(0<a_1≦a_2≦･････････≦a_n\)
および\(n\)個の不等式　\(\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ j} a_ix_i≦\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{j} a_iy_i\)　　\((j=1,2,････n)\)
を満たしているとき、

\(\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } x_i≦\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } y_i\)となることを証明してください。

【解答1】

【1】\(0<a_1≦a_2\)から、\(1/a_1≧1/a_2>0\)
\(a_1x_1≦a_1y_1\)　に\(1/a_1－a_2(≧0)\)をかけ
\(a_1x_1+a_2x_2≦a_1y_1+a_2y_2\)　に、\(1/a_2>0\)をかけて両辺を加えると
\(1/a_1･a_1x_1+1/a_2･a_2x_2≦1/a_1･a_1y_1+1/a_2･a_2y_2\)から、
\(x_1+x_2≦y_1+y_2\)　となります。

【2】条件より、\(1/a_1≧1/a_2≧･･･････≧1/a_n>0\)
【1】と同様なことを行うと、\(\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ j} a_ix_i≦\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{j} a_iy_i\)　　\((j=1,2,････n)\)から
\(\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } x_i≦\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } y_i\)　となります。

【問題2】

自然数\(n\)のとき、\(I_n＝\displaystyle \int_{0}^{1} x^2\vert sinnπx \vert dx\)　とおきます。

\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } I_n\)を求めてください。

【解答2】

\(J_k＝\displaystyle \int_{k-1/n}^{k/n} x^2\vert sinnπx \vert dx　(k=１,2,･･･････n)\)とおくと、
\(I_n＝\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{n}J_k\)です。
\(k-1/n≦x≦k/n\)の区間で
\((k-1/n)^2\displaystyle \int_{k-1/n}^{k/n}\vert sinnπx \vert dx≦J_k≦(k/n)^2\displaystyle \int_{k-1/n}^{k/n} \vert sinnπx \vert dx\)
より、\(2/nπ(k-1/n)^2≦J_k≦2/nπ(k/n)^2\)
よって、\(2/nπ･\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{n}((k-1)/n)^2≦I_n≦2/nπ･\displaystyle \sum_{ k= 1 }^{n}(k/n)^2\)
ここで、\(n→∞\)とすれば上式の両辺は、ともに\(2/π\displaystyle \int_{0}^{1}x^2＝2/3π\)に収束しますから、
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } I_n＝2/3π\)　となります。