難関大後期試験－東工大－

難関大後期試験－東工大－

難関大の後期試験は、倍率が高くなりますし、時間も十分とられる場合が多く、結構難問が出題されることがあります。史上最高の難問と言われているのも東京大学の後期試験でした。ここでは、東工大の後期試験をとりあげてみましょう。

東工大後期の問題

【問題1】

【1】実数$a_1,a_2，x_1，x_2，y_1,y_2$が次の条件を満たしているとします。
$0<a_1<a_2$
$a_1x_1≦a_1y_1+a_2y_2$
$a_1x_1+a_2x_2≦a_1y_1+a_2y_2$

このとき、$x_1+x_2≦y_1+y_2$　であることを証明してください。

【2】$n$を$2$以上の自然数とし、$3n$個の実数$a_1,a_2,･･････；x_1,x_2，･･････，x_n；y_1，y_2，･･････，y_n$が、
$0<a_1≦a_2≦･････････≦a_n$
および$n$個の不等式　$\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ nj} a_ix_i≦\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{j} a_iy_i$　　$(j=1,2,････n)$
を満たしているとき、

$\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } x_i≦\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } y_i$となることを証明してください。

【問題2】

自然数$n$のとき、$I_n＝\displaystyle \int_{0}^{1} x^2\vert sinnπx \vert dx$　とおきます。

$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } I_n$を求めてください。