難関大数学の基本－ⅠA、ⅡBの確認一橋大学－

数学ⅠA、ⅡBの確認

理系数学では、数ⅠA、ⅡB、Ⅲが試験範囲であり、数Ⅲ重視の出題がされますが、数ⅠA,ⅡBの項目も出題されます。これらは、かなり難しくなる傾向があります。ここでは、数ⅠA,ⅡBの問題の整理をしておきましょう。

数ⅠA、ⅡBの問題（一橋大学）

【問題1】

\(k\)を正の整数とします。\(5n^2－2kn+1<0\)を満たす\(n\)がちょうど１つあるような\(k\)を求めてください。

【問題2】

3次方程式\(x^3+ax^2+bx+ｃ＝0\)は相異なる3つの解\(p,q,r\)をもつとし、さらに\(2p^2－1，2q－1，2r－1\)も同じ方程式の相異なる3つの解であるとします。\(a,b,c,p,q,r\)の組を求めてください。

【問題3】

\(a\)を正の実数とします。点\((x,y)\)が、不等式\(x^2≦y≦x\)の領域を動くとき、常に\(1/2≦(x-a)^2+y≦2\)となるとします。このとき、\(a\)の値の範囲を求めてください。

【問題4】

正4面体\(OABC\)の1辺の長さを\(1\)とします。辺\(OA\)を\(2:1\)に内分する点を\(P\)、辺\(OB\)を\(1:2\)に内分する点を\(Q\)とし、\(0<t<1\)を満たす\(t\)に対して、\(OC\)を\(t:1-t\)にない分する点を\(R\)とします。
（１）\(PQ\)の長さを求めてください。
（２）\(△PQR\)の面積が最小になるときの\(t\)の値を求めてください。

【問題5】

\(n\)を\(3\)以上の整数とします。\(2n\)枚のカードがあり、そのうち赤いカードの枚数が\(6\)、白いカードの枚数は、\(2n－6\)とします。これらの\(2n\)枚のカードを無作為に、箱\(A\)と箱\(B\)に入れるものとします。このとき、2つの箱の少なくとも一方に赤いカードがちょうど\(k\)枚入っている確率を\(p_k\)とします。
（１）\(p_2\)を\(n\)で表し、\(p_2\)を最大にする\(n\)を求めてください。
（２）\(p_1+p_2<p_0+p_3\)を満たす\(n\)を求めてください。