難関大学の2次曲線の問題－解答編－

難関大学の2次曲線の問題

2次曲線は、現在は数Ⅲの範囲になっています。代表的な2次曲線であるだ円、双曲線、放物線の標準形の理解は基本的です。幾何学的な定義から、2次曲線のの標準形が導出できるようにしておくと、基本的な問題の出題にも問題なく対応できるでしょう。これらの2次曲線は、ともに円錐曲線です。つまり、円錐をある平面で切ったときの切り口がだ円、双曲線、放物線となります。これらの理解も大切です。また、2次曲線は、極座標を使うと、統一的に扱うこともできますし、幾何学的な問題でも有効な場合があります。離心率も含めた曲座標での2次曲線の理解も十分しておいてください。問題は次のリンクです。難関大学の2次曲線

2次曲線の問題の解答

【問題1】

\(α、β\)実数とします。\(x\)に関する実数係数の２次式\(f(x)＝ax^2+bx+c\)　が　\(a+b+c＝0\)　の関係式を満たすとき、座標\((f(α)，f(β))\)の点はどのような集合になるのか求めてください。(東京大学)

【解答1】

\(c=－(a+b)\)だから、\(x=f(α)＝(α－1)(aα+a+b)\)、\(y=f(β)＝(β－1)(aβ+a+b)\)　ですから、
ⅰ）\(α≠β，α≠1，β≠1\)のとき、\(a≠0\)だから、上式から\(b\)を消去すると、
\((β－1)x－(α－1)y＝a(α－1)(β－1)(α－β)≠0\)･･･････①
ⅱ）\(α≠β\)かつ\(α=1\)または\(β=1\)のときは
\(x=0またはyは全実数\)　か　\(xは全実数またはy=0\)となります。
ⅲ)　\(α＝β≠1\)のときは、\(x=y\)
ⅳ）\(α＝β＝1\)のときは、\(x=0,y=0\)
直線①は、\(a\)が\(a≠0\)の全ての実数をとるとき、
直線\((β－1)x－(α－1)y＝0\)　････････②　を除く全ての点を通ります。
よって、\((f(α)，f(β))\)の集合は、全平面から②を除き、原点を含めた平面となります。

(注）東京大学のもとの問題では、係数\(a,b,c\)が実数であることが書かれていません。複素数も含めたものでは、条件が不足します。ここでは、問題文を修正して、係数が実数であることを条件としています。

【問題2】

点\((x,y)\)と点\((u,v)\)の間に、\(u＝2x/(1+xy)，v＝(1－xy)/(1+xy)\)の関係があるとします。
\(0<x<y\)を満たすとき、\((u,v)\)はどのような領域にあるか求めてください。（早稲田大学）

【解答2】

\(0<x<y\)のとき、与えられた式を、\(x,y\)について解くと
\(x=u/(1+v)，y=(1-v)/v\)となりますから、
\(0<u/(1+v)<(1-v)/v\)
よって、\(u(1-v)>0\)かつ\(u^2<1－v^2⇔u^2+v^2<1\)
従って、求める\((u,v)\)は、中心原点で、半径1の円内の\(u>0\)の半円の内部です。境界は含みません。

【問題3】

（１）だ円外の１点\(P\)からだ円に引いた２つの接線の接点を、\(A,B\)とします。\(F\)をだ円の１つの焦点とすると、\(PF\)は\(∠AFB\)を２等分することを証明してください。

（２）双曲線の一方の側の曲線上の1点における接線が、双曲線と交わる点を、\(A,B\)とします。焦点の１つを、\(F\)とすると、\(∠AFB\)は、一定であることを証明してください。

【解答3】

直交座標でも解くことができますが、円錐曲線の幾何学的な性質は、極座標を用いるとうまく解くことができる場合があります。離心率を用いた円錐曲線の極形式の理解は、重要だと思います。

（１）だ円を極座標表示して、\(ｒ＝l/(1－ecosθ)　l>0\)とし、だ円外の点\(P(r，θ)　0≦θ≦π\)とします。(\(π≦θ≦2π\)のときも、対象移動することにより、同様にできます。）\(P\)からだ円に引いた接線の接点を、\(A,B\)とし、その偏角を、\(α、β\)とします。\(A,B\)におけるだ円の接線を求めると、
\(l/r＝cos(θ－α)－ecosθ\)･･････････①
\(l/r＝cos(θ－β)－ecosθ\)･･････････②
\(P\)の偏角は、①、②をともに満たすから、
\(cos(θ－α）－cos(θ－β)＝0\)となります。
よって、\(2sin(θ－(α+β)/2)sin((β－α)/2＝0\)
\(sin(β-α)/2≠0\)ですから、\(sin(θ－(α+β)/2)＝0\)となります。
\(0≦α、β、θ≦π\)ですから、
\(θ＝(α+β)/2\)　これは、\(FP\)が、\(∠AFB\)の2等分線であることを示しています。

（２）双曲線\(x^2/a^2－y^2/b^2＝1\)の焦点\(F(ae,0)、F'(-ae,0)\)のうち、\(F’\)を極とし、\(F’F\)を始線とする極座標を考えると、
双曲線の極方程式は、\(r＝l/(1－ecosθ)、l＝a(1－e^2)\)となります。\(F’\)から、2つの双曲線の漸近線に下ろした垂線の偏角を\(α，－α\)，長さを\(p\)とすると、その極方程式は、\(p＝rcos(θ±α)\)････････①
点\(P\)の偏角を\(β\)とすると、
\(l/r＝cos（θ－β)－ecosθ\)･･････････②
①、②から、
\(lcos(θ±α)＝pcos(θ－β)－epcosθ\)･････････③
③を満たす\(θ　(0<\vert θ\vert<π)\)を、それぞれ\(θ_1，θ_2\)とすると、これらは\(A,B\)の偏角ですから、③から、
\(tanθ_1＝(lcosα－pcosβ+ep)/(psinβ+lsinα)\)
\(tanθ_2＝(lcosα－pcosβ+ep)/(psinβ－lsinα)\)
よって、\(tan(θ_1－θ_2)＝－2Alsinα/((p^2sin^2β－＋l^2sin^2α)+A^2)\)･･････④
ここで、\(A=lcosα－pcosβ+ep\)です。
\(p=aecosα， l＝a(1－e^2)＝－b^2/a^2\)で、 \(tanα＝a/b\)だから、④式は、
\(tan(θ_1－θ_2)＝b^2/a^2･tanα＝b/a＝一定\)となり、題意は示されました。