挟み撃ちの原理を使いこなそう－難関大学対策－

挟み撃ちの原理を使いこなす

数列や級数の極限値を求めるときに、よく使われるのが挟み撃ちの原理です。一般項や部分和が分かり易い式であれば、極限値を求めるのは割合た易いでしょう。また漸化式がわかるのであれば、これも一般項がわかるわけですから、極限が収束するのか発散するのかの判断もわかると思います。一方一般項や部分和が収束性の判断するのに分かりにくいものなら、挟み撃ちの原理を使わざるを得ません。難関大学の問題では、挟み撃ちの原理を使うものが結構あります。すでに挟み撃ちの原理を使う問題は提示してありますが、挟み撃ちにどう結びつけるのか考えにくい部分があるのも事実だろうと思います。ここでは、再度挟み撃ちの原理を使う問題を研究してみましょう。挟み撃ちの原理に関連する記事は、次のリンクを参照してください。挟み撃ちの原理の関連項目

挟み撃ちの原理に関する問題

【問題１】

$f(x)＝1/2･cosｘ$とします。

（1）方程式$ｘ＝f(x)$は、ただ１つの実数解$α$を持つことを示してください。
（２）数列${a_n}$が。$a_1＝0、a_{n+1}＝f(a_n)　(n=1,2,3,･･･････）$で定義されるとき、
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n(x) = α$となることを示してください。(東京大学）

【問題2】

$n$を自然数とします。数列${x_n}$を$x_1>1、x_{n+1}＝1/2･(x_n+1/x_n)$で定義します。
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } x_n(x)$を求めてください。
(注）原問題には、誘導設問がありますが、誘導は省略してあります。自分で導入してください。
（東北大学）

（類題）$n$を自然数とするとき、数列$x_n$を、$x_1＝1、x_{n+1}＝1/2･(x_n+1/(25x_n))$で定義します。
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } x_n$を求めてください。（山形大学）

【問題3】

次の極限値を求めてください。

（１）$\displaystyle \lim_{ n \to \infty }\sqrt[n]{n}$

（２）実数値$x$に対して、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } x^n/n!$　を求めてください。