難関大数学演習－解答編－

難関大数学演習

ここにあげた問題は、京都大学の問題３以外は、解法の方針に迷ったり特別な推論が必要なものではありません。少なくとも難関大志望の受験生であれば、これはできると、試験場で思う問題です。計算は結構面倒なものもありますが、この程度であれば、計算ミスなく確実に得点すべき問題だと思われます。問題３は思考実験をすれば案外すぐに予測できるかも知れません。あとはどう論証するかです。問題は次のリンクです。難関大数学演習

難関大数学演習-解答

【問題１】

\(p,q,\sqrt{2}p、\sqrt[3]{3}q\)がすべて有理数であるとき、\(p=q=0\)であることを示してください。(大阪大学）

【解答1】

背理法で証明するのは、こういう問題の鉄則です。結論を否定し矛盾を導きます。難しくはありません。

【問題2】

２つの関数　\(y=sin(x+π/8)とｙ＝sin2x　のグラフの　0≦x≦π/2\)の部分で囲まれる領域を、\(x\)軸の周りに１回転させてできる立体の体積を求めてください。\(x=0とｘ＝π/2\)は領域を囲む線とは考えません。(京都大学）

【解答２】

回転体の体積ですから、２つのグラフの概形がわかれば、あとは数Ⅲの積分をするだけです。
体積は、\(π/16\)です。

【問題３】

素数\(p,q\)を用いて、\(p^q＋q^p\)と表される素数をすべて求めてください。（京都大学）

【解答3】

\(p,q\)は素数ですから、これが\(２\)を除く素数であれば、すなわち\(p,q≧3\)の素数なら、その累乗は奇数です。従って\(p^q,q^p\)はともに奇数ですから、\(p^q＋q^p\)は偶数となり、素数ではありません。従って次の場合を考えればいいことになります。\(p,q\)の対称性を考えて
ⅰ）\(p=q=２\)のとき、条件をみたしません。
ⅱ）\(p=2，q≧3\)のとき、\(p=2,q=3\)なら、\(p^q＋q^p＝2^3+3^2＝8+9＝17\)で条件を満たします。
\(p=2、q＞3\)なら、\(q\)は３の倍数ではないから、\(q≡1,2(mod3)\)　よって\(q^2≡1(mod3)\)　\(q\)は奇数ですから、\(p^q＋q^p＝２^q+q^2≡2+1≡0（mod3)\)となり、素数ではありません。よって\((p,q)＝(2,3)、(3,2)\)

【問題4】

(1)　\(α＝\sqrt{13}＋\sqrt{9＋2\sqrt{17}}+\sqrt{9－2\sqrt{17}}\)とします。整数係数の4次多項式\(f(x)\)で、\(f(α)＝0\)となるもののうち、最高次の係数が\(1\)のものを求めてください。

(2)　実数\(±\sqrt{13}±\sqrt{9＋2\sqrt{17}}±\sqrt{9－2\sqrt{17}}\)（複合はすべての組み合わせを考えます。）のうち、（１）で求めた\(f(x)＝0\)の解となるものを求めその他は解でない事を示してください。

(3)　(2)の解の大小関係を示してください。

（名古屋大学）

【解答4】

(1)　\((α－\sqrt{13})^2＝(\sqrt{9＋2\sqrt{17}}+\sqrt{9－2\sqrt{17}})^2\)から,\(α^2－2\sqrt{13}+13＝18+2\sqrt{13}\)　よって\(α^2－5
＝2\sqrt{13}(α+1\)　これを両辺2乗して、\(α^4－62α^2－104α－27＝0\)　よって、\(f(x)＝x^4－62x^2－104x－27\)

(2)　同様に考えて、\(α+\sqrt{13}＝±(\sqrt{9＋2\sqrt{17}}－\sqrt{9－2\sqrt{17}})\)　であっても　\(α^2－5＝－2\sqrt{13}(α+1)\)から解となる。よって、\(α＝\sqrt{13}±(\sqrt{9＋2\sqrt{17}}+\sqrt{9－2\sqrt{17}})、α＝－\sqrt{13}±(\sqrt{9＋2\sqrt{17}}－\sqrt{9－2\sqrt{17}})\)

(3)　大小は、\(\sqrt{13}+\sqrt{9＋2\sqrt{17}}+\sqrt{9－2\sqrt{17}}＞－\sqrt{13}+\sqrt{9＋2\sqrt{17}}－\sqrt{9－2\sqrt{17}}\)
\(＞\sqrt{13}－\sqrt{9＋2\sqrt{17}}－\sqrt{9－2\sqrt{17}}＞－\sqrt{13}－\sqrt{9＋2\sqrt{17}}+\sqrt{9－2\sqrt{17}}\)