難関大・文系数学、理系数学－解答編－

難関大－文系数学・理系数学ー

２０１６年の東京大学の文系と理系に似たような問題が出題されました。理系は数Ⅲまで範囲が入るので、複素数での扱いとなっていますが、問題の本質は三角形の性質と言う幾何学的な範囲に入ると思われます。文系の問題を作成したあとに、理系を作成したのでしょうか。あるいはその逆なのでしょうか。問題としては、標準的な問題ですが、結構興味深い２問です。理系の問題も解答が、文系と同じになる出題ができますが、出題者は共役複素数を使って解く事を予測したのでしょうか。問題のリンクは、以下です。難関大－文系数学・理系数学－

文系・理系数学の問題の解答

【文系の問題】

座標平面上の３点\(Ｐ(x,y),Ｑ(-x,-y),Ｒ(1,0)\)の3点が鋭角3角形を成すための\((x,y)\)についての条件を求めてください。また、その条件を満たす\(Ｐ(x,y)\)の範囲を図示してください。(東大文系)

【解答】

\(P,Q,R\)が３角形を成すには,\(P,Q,R\)が１直線上にない場合ですから、\((x,y)≠(0,0)、≠(1,0)、≠(－1,0)\)のとき　･････････①
このもとに、\(P,Q,R\)が鋭角3角形を成すには、各角の鋭角条件が成りたつことが必要十分だから、以下の不等号が成り立つことが成り立てばよいことになります。よって、\(PQ^2+QR^2＞PR^2,QR^2＋PR^2＞,PR^2+QR^2＞PQ^2\)
これを、座標成分表示すると、
\((x+1/2)^2＞(1/2)^2\)･･･････････②
\(ｘ^2+ｙ^2＜1\)･･････････③
\((ｘ－1/2)^2+ｙ^2＞(1/2)^2\)････････④
従って、①、②、③、④の共通部分を図示すればよいことになります。

【理系の問題】

\(z\)を複素数とするとき、複素平面上の3点　\(Ａ(1),Ｂ(z),Ｃ(z^2)\)が鋭角３角形を成すための\(z\)の条件を求め、複素平面上に図示してください。(東大理系)

【解答】

基本は、文系の問題と同様の解法です。\(xy\)実数直交座標が、複素平面（ガウス平面）になっただけです。文系の問題でやったことを、複素数に直すだけです。問題の難易度はほとんど変わらないと思います。東大教養課程の同じ先生が文系も理系も問題作成されたのでしょうか。

複素平面で、\(A,B,C\)が鋭角３角形を成すためには、まず１直線上にないことが必要ですから\(z≠0,ｚ≠±1\)････････①
また、\(A,B,C\)が鋭角３角形を成すためには、文系の問題と同様に考えて、以下が必要十分です。
\(| z－1|^2+| z^2－1|^2＞| z^2－z |^2\)･･･････②
\(| z－1|^2+| z^2－ｚ|^2＞| z^2－1 |^2\)･･･････③
\(| z^2－1|^2+| z^2－z|^2＞| z－1|^2\)････････④
\(| z－1|≠0\)だから、②、③、④を整理すると、
\(1+| z－1|^2＞| z|^2、1+| z|^2＞| z－1|^2、| z－1|^2+| z|^2＞1\)
従って、次式が成り立ちます。

\((z+\bar{ z })/2＞-1、(z+\bar{ z })/2＜0、| z+1/2|＞1/2\)
これと、①を複素平面に図示すればよいことになります。

\(ｚ＝ｘ+iｙ：x,yは実数\)として、表記すると、
\(－１＜ｘ＜1、(x+1/2)^2+y^2＞(1/2)^2\)但し①の点は除きます。