微積分の問題－難関大理系でも必須です－

微積分法の問題

理系ではいわゆる数学Ⅲの範囲の問題がよく出題されます。このなかで微積分法はその中心にある単元です。数Ⅱの微積分では整関数の微積分のみを取り扱いますが、数Ⅲでは３角関数、指数関数、対数関数、分数関数、無理関数など高校で扱う全ての関数が対象となります｡個々の関数の性質をきちんと理解するのはもちろんですが、微積分で扱う手法も正確に理解する必要があると思います。また、数Ⅲでは２次曲線や複素平面も扱いますので、ここの単元も落ちのないようにしてください。

微積分の問題－難関大－

【問題１】

\(Ｏ\)を原点とする座標平面の第Ⅰ象限に曲線　\(C：y=f(x)\)があるとします。\(C\)上の任意の点における接線が、\(x,y\)軸の正の部分と\(P,Q\)で交わるとし、関数\(y=f(x)\)は２回まで微分可能とし、\(f’’(x)>0\)とします。このとき、線分\(PQ\)の長さが\(a(>0)\)となるような\(f(x)\)を求めてください。(頻出)

【問題２】

\(f(x)\)を実数全体で定義された連続関数で、\(x>0で0<f(x)<1\)を満たすものとします。\(a_１=1\)とし順に、\(a_m＝\displaystyle \int_{0}^{a_{m-1}} f(x) dx　(m=2,3,4,･･･････)\)により数列\(a_m\)を定めます。

(1)\(m≧2\)に対し、\(a_m>0\)であり、\(a_1>a_2>･･･････>a_m>･････\)であることを示してください。
(2)\(1/2016＞a_m\)となる\(m\)が存在することを証明してください。
（名古屋大　改）

【問題３】

関数\(f(x)＝sinx\)に対して、\(n\)階導関数　\(f^{ ( n ) }(x)　(n=0,1,2････)\)を
\(f^{ ( 0 ) }(x)=f(x)\)　\(f^{ ( n+1 ) }(x)＝ df^{ ( n ) }(x) / dx \)で定めます。また、任意の自然数\(n\)に対して、\(2\)つの関数\(y=x･f^{ ( n-1 ) }(x)及びy=f^{ ( n ) }(x)\)のグラフを、\(C_1,C_2\)とします。\(P\)が\(C_1,C_2\)の交点であれば、\(P\)における\(C_1,C_2\)の接線は、互いに直交することを証明してください。（京都大）

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