整数の問題－難関大の問題－

整数の問題

2015年からの新課程入試から整数の単元が数ⅠAに入ってきました。センターでも出題されていますし、これまでの入試でも難関大で整数の問題は結構出題されています。整数の問題は、単純なものもありますが、なかなか手ごわい難しめの問題もあります。基本的な整数の性質や方法、例えばユークリッドの互除法などをしっかり理解し、問題に取り組む必要があると思います。

整数の問題演習

【問題１】

\(x^n+y^n+z^n－n･xyz\)が  \(x+y+z\) で割り切れるような自然数\(n\)を求めてください。

【問題２】

1以上の整数全体の集合を\(I\)とし、\(x \in I,y\in I\)を満たす\(x,y\)について、\(S=40x+13y\)となる\(I\)の部分集合を考えます。\(S\)はある整数\(n\)以上の全ての整数を含むことを示し、その\(n\)の最小値を求めてください。

【問題３】

定理

２つの正整数\(a,b\)の最大公約数を\(d\)とします。このとき、\(ax+by=d\)を満たす整数　\(x,y\)が存在します。これを示してください。また使えるようになってください。特に\(a,b\)が互いに素なときは、\(ax+by=1\)を満たす整数\(x,y\)が存在します。

この定理は、整数に関する不定方程式を解くときの基本になっています。