国立難関大医学部千葉大医学部－解答編－

国立難関大千葉大医学部

すこし驚くような組合せの式も見受けられますが、すこし計算してみるとそれほどたいした事はなく、計算問題であると気がつけばしめたものです。他の2問も標準的な問題です。きちんと時間計算をして、問題に取り組めば高得点も望めると思います。しかし、千葉大の医学部には、首都圏初め有名校の相当できる人が受験すると思われますので、計算ミスなどの不注意には十分気をつけてください。問題・解説は次のリンクです。国立難関大医学部入試問題

千葉大医学部の問題の解答

【問題１】

\(1から9\)まで番号をつけた9枚のカードがあります。これらを１列に並べる試行を行うものとします。

(1)下記の条件(A)が成り立つ確率を求めてください。
(2)下記の条件(B)が成り立つ確率を求めてください。
(3)条件(A)、(B)が同時に成り立つ確率を求めてください。

条件(A)、(B)は下記の通りとします。

(A)番号1のカードと番号２のカードは隣り合わない。
(B)番号８のカードと番号9のカードの間には、ちょうど1枚のカードがある。

【解答１】

(1)補集合を考え隣り合った\(1,2\)を並べ、残りのカードを並べる確率を考え\(１\)から引けばいいですから、\(1－2!8!/9!＝7/9\)

(2)\(8、9\)の並び方は、2通りで、この間にカードをいれるのは、\(7\)通り、これに残りのカードを並べればいいから、\(7･2･7!/9!＝7/36\)

(3)\(8と9\)の間に\(1\)を入れるのは、\(2･7!\)通り、\(8と9\)の間に\(2\)を入れるのも同様に、\(2･7!\)通り、また、\(8と9\)の間に\(3～7\)を入れるのは,\(2･5･5!\)通りであり、両端に\(1,2\)を並べるのは、\({}_6 \mathrm{ P }_2\)通りですから、求める確率
は、\((2･7!･2+2･5･5!+({}_6 \mathrm{ P }_2)/9!＝13/84\)

【問題２】

\(ａ,b\)を実数とし、\(ａ＞0\)とします。放物線\(y=x^2/4\)のうえに\(2点A(a,a^2/4)、B(b,b^2/4)\)をとります。点\(A\)における放物線の接線と法線を、\(l_A、n_A\)、点\(B\)における接線と法線を、\(l_B、n_B\)とします。このとき、\(l_Aとl_B\)が直交し、\(l_A、l_Bの交点をＰ\)、\(n_A、n_Bの交点をQとします。\)
(1)\(P,Q\)の座標を、\(a\)で表してください。
(2)長方形\(AQBP\)の面積が最小になる\(a\)の値と、面積を求めてください。

【解答２】

(1)\(l_A,l_B\)は直交するから、\(a/2･b/2＝－1\)ですから、\(b＝－4/a\)･･････①
\(l_A､l_B\)の方程式は、\(y=a/2･x－a^2/4,y=b/2･x－b^2/4\)となります。
従って交点は、\(P(a/2－2/a,－1)\)　となります。ここで四角形は長方形ですから、\(AB,PQ\)の中点は一致します。これより、\(Q(a/2－2/a,a^2/4+4/a^2+1)\)

(2) (1)より、\(P,Q\)の\(x座標\)は等しいから、\(PQ=(a/2＋2/a)^2\)また、\(A\)から、\(PQ\)へおろした垂線を、\(AH\)とすると、\(AH=a/2＋2/a\)となります。従って、
\(AQBP=2･1/2･PQ･AH＝(a/2+2/a)^3\)となります。ここで、\(a>0\)より相乗平均、相加平均の関係から、\(a/2＋2/a≧2\sqrt{a/2･2/a}＝2\)です。
よって、\(AQBP\)の最小値は、\(2^3=8\)で等号は、\(a＝2\)で成り立ちます。

【問題3】

\(整数p,q　(ｐ≧ｑ≧0\)に対して、2項係数を\({}_p \mathrm{ C }_q＝p!/q!(p-q)！\)で定めるものとします。
(1)\(n,k\)が0以上の整数のとき、\({}_{n+k+1} \mathrm{ C }_{k+1}ｘ(1/({}_{n+k} \mathrm{ C }_k－{}_{n+k+1}\mathrm{ C }_k))\)は、\(n\)によらない値になる事を示してください。

(2)\(ｍがｍ≧3\)の整数とするとき\(1/{}_3 \mathrm{ C }_3+1/{}_4 \mathrm{ C }_3+･･･････+1/{}_m \mathrm{ C }_3\)を求めてください。

【解答３】

(1) \({}_{n+k+1} \mathrm{ C }_{k+1}ｘ(1/({}_{n+k} \mathrm{ C }_k－{}_{n+k+1}\mathrm{ C }_k))\)
＝\((n+k+1)/(k+1)－(n+1)/(k+1)=k/(k+1)\)

(2) \(1/{}_3 \mathrm{ C }_3+1/{}_4 \mathrm{ C }_3+･･･････+1/{}_m \mathrm{ C }_3＝ \displaystyle \sum_{k=3}^{m}･1/{}_k \mathrm{ C }_3\)
＝ \(\displaystyle \sum_{k=3}^{m}(6/k(k-1)(k-2)) ＝3\displaystyle \sum_{k=3}^{m}(1/(k-1)(k-2)－1/k(k-1))\)
＝\(3(m+1)(m-2)/(2m(m-1))\)