国立難関大医学部・千葉大医学部

国立難関大医学部の数学-千葉大学PartⅠ-

千葉大学医学部は、首都圏にある国立大学医学部として、難関大学の一角を占めています。千葉大学は、今後なくなることにはなっていますが、センター試験の結果を多く取り入れている大学です。2年前は半分はセンター試験の点数が加算されていましたが、昨年から、センターの得点比率が、900点→450点に圧縮されました。圧縮されたとはいえセンター比率が東大などに比べるとかなり大きいのは注目しなければなりません。国立大学ではセンター試験の結果を2次試験の足切りにするとともに、2次試験との加点で合否が判定されますので、自分の志望校の比率がどうなっているのかを十分に調べるとともに、センター試験対策もしっかりやる必要があります。首都圏の医学部では、センター試験の得点率は、9割が必要と言われていますから、主要科目のみならず理科、社会も十分な対策が必要だと言えます。

国立難関大医学部・千葉大医学部

【問題１】

\(1から9\)まで番号をつけた9枚のカードがあります。これらを１列に並べる試行を行うものとします。

(1)下記の条件(A)が成り立つ確率を求めてください。
(2)下記の条件(B)が成り立つ確率を求めてください。
(3)条件(A)、(B)が同時に成り立つ確率を求めてください。

条件(A)、(B)は下記の通りとします。

(A)番号1のカードと番号２のカードは隣り合わない。
(B)番号８のカードと番号9のカードの間には、ちょうど1枚のカードがある。

【問題２】

\(ａ,b\)を実数とし、\(ａ＞0\)とします。放物線\(y=x^2/4\)のうえに\(2点A(a,a^2/4)、B(b,b^2/4)\)をとります。点\(A\)における放物線の接線と法線を、\(l_A、n_A\)、点\(B\)における接線と法線を、\(l_B、n_B\)とします。このとき、\(l_Aとl_B\)が直交し、\(l_A、l_Bの交点をＰ\)、\(n_A、n_Bの交点をQとします。\)
(1)\(P,Q\)の座標を、\(a\)で表してください。
(2)長方形\(AQBP\)の面積が最小になる\(a\)の値と、面積を求めてください。

【問題3】

\(整数p,q　(ｐ≧ｑ≧0\)に対して、2項係数を\({}_p \mathrm{ C }_q＝p!/q!(p-q)！\)で定めるものとします。
(1)\(n,k\)が0以上の整数のとき、\({}_{n+k+1} \mathrm{ C }_{k+1}ｘ(1/({}_{n+k} \mathrm{ C }_k－{}_{n+k+1}\mathrm{ C }_k))\)は、\(n\)によらない値になる事を示してください。

(2)\(ｍがｍ≧3\)の整数とするとき\(1/{}_3 \mathrm{ C }_3+1/{}_4 \mathrm{ C }_3+･･･････+1/{}_m \mathrm{ C }_3\)を求めてください。