数列に関する難関大の問題－解答編－

数列に関する難関大の問題

数列の漸化式は、２項間、３項間の漸化式、階差数列、部分和などがその基本的な解法のテクニックです。難関大では、直接上記の漸化式で解けるものもありますが、一工夫必要なものがよく出題されます。すこし複雑な漸化式をみたら、どうやったら基本的な解法に持っていけるのかを考えてください。必ず解法の糸口があるはずです。解説、問題のリンクは次にあります。数列に関する難関大の問題

数列に関する難関大の問題の解答

【問題1】

\(a_n^2ａ_{n-2}＝ａ_{n-1}^3\)　という規則でえられる正の数列\({a_n}\)において、\(a_1＝1,a_2＝10\)とします。\({a_n}\)をもとめ、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n\)を求めてください。(慶応大）

【解答１】

\(a_n＞0\)より、\(a_n^2ａ_{n-2}＝ａ_{n-1}^3\)の常用対数をとり、\(\log_{10}ａ_n＝b_n\)とおくと、\(２b_n+ｂ_{n-2}＝3ｂ_{n-1}\)･･････①　①から、\(b_n－b_{n-1}＝1/2(b_{n-1}－ｂ_{n-2}\)となりますから、\(b_n＝b_1+2(１－(1/2)^{n-1}＝2－(1/2)^{n-2}＝\log_{10}ａ_n\)　よって、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_n＝\log_{10}\displaystyle \lim_{ n \to \infty } ａ_n＝2\)ですから、
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n＝10^2＝100\)

【問題２】

数列\({a_n}、{b_n}\)が、条件\(a_1＝1､b_1＝8、a_n＞0、b_n＞0、ａ_{n+1}^2＝ａ_{n+1}b_n、ｂ_{n+1}^2＝ａ_{n+1}b_n　(ｎ＝1,2,3、･･････)\)を満たすとします。
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n\)、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_n\)を求めてください。(早稲田大）

【解答2】

\(a_1＝1､b_1＝8\)･･･････①
\(ａ_{n+1}^2＝ａ_{n+1}b_n、ｂ_{n+1}^2＝ａ_{n+1}b_n\)･････････②
②から、\(ａ_{n+1}b_{n+1}＝ａ_nb_n\)･･････････③となり、数学的帰納法より
全ての\(n\)で③が成り立つことが示せます。よって、\(ａ_nb_n＝ａ_1b_1＝8\)････④
また、②式から、\((ａ_{n+1}/b_{n+1})^3＝ａ_n/b_n\)も数学的帰納法で成り立つことが証明できます。ここで、\(a_n/b_n＝x_n\)とおくと\(x_n＝(1/8)^{(1/3)^{n-2}}\)
これから、\(ｂ_n＝\sqrt{2^{(1/3)^{n-2}}･2^3}\)、\(a_n＝2^3･\sqrt[-1/2]{2^{(1/3)^{n-2}}･2^3}\)　　以上より、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n＝\displaystyle \lim_{ n \to \infty } ｂ_n＝2\sqrt{2}\)

【問題３】

\(x_1、x_2,･･････；y_1、y_2･･･････\)のおのおのが\(0または1\)をとるとき、一般に、\((x_1,y_1､x_2,y_2,･･･････､x_p,y_p)\)の組のなかで、\(x_1y_1+x_2y_2+･･････x_py_p\)が偶数(0を含みます）、奇数になるものの個数を、それぞれ\(f_p,g_p\)とするとき、\(f_n＝２^{n-1}(２^n+1)、g_n＝２^{n-1}(２^n－1)\)となることを示してください。（東京工大）

【解答３】

\(P=x_1y_1+x_2y_2+･･････x_py_p、Q=x_{p+1}y_{p+1}\)とおくと、\(P+Q\)が偶数になるのは、\(P,Q\)がともに偶数か、ともに奇数のときに限ります。
(1)\(P,Q\)が偶数のとき、\((x_{p+1}、y_{p+1})＝(0,0)、(1,0)、(0,1)\)ですから、\(3f_p\)　 (2)\(P,Q\)が奇数のときは、\(g_p\)です。
よって、\(f_{p+1}＝3f_p+g_p、g_{p+1}＝f_p+3g_p\)となります。･･････①
①から、\(f_{p+1}+g_{p+1}＝4(f_p+g_p),f_{p+1}－g_{p+1}＝2(f_p-g_p)\)
よって、\(f_n+g_n＝2^{2n}\)･････････②
\(f_n-g_n＝2^{n}\)･･･････････③
従って、\(f_n＝2^{n-1}(2^n+1)、g_n＝2^{n-1}(2^n-1)\)　です。