数列に関する難関大の入試問題

数列に関する解法

大学入試問題で、数列は数Bの課程に入っていますが、特に漸化式の問題を苦手にしている人が多いようです。数列の漸化式は、２項間、３項間の漸化式が基本となりますが、問題を工夫しないと、基本的なところにならない問題が難関大の入試問題によく出題されます。どのように解くかのテクニックは、よく知った問題にどう結びつけるかの演習をやっておくといいと思います。

数列に関する難関大の入試問題

【問題1】

\(a_n^2ａ_{n-2}＝ａ_{n-1}^3\)　という規則でえられる正の数列\({a_n}\)において、\(a_1＝1,a_2＝10\)とします。\({a_n}\)をもとめ、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n\)を求めてください。(慶応大）

【問題２】

数列\({a_n}、{b_n}\)が、条件\(a_1＝1､b_1＝8、a_n＞0、b_n＞0、ａ_{n+1}^2＝ａ_n･b_{n+1}、b_{n+1}^2＝ａ_{n+1}･b_n　(ｎ＝1,2,3、･･････)\)を満たすとします。
\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_n\)、\(\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_n\)を求めてください。(早稲田大）

【問題３】

\(x_1、x_2,･･････；y_1、y_2･･･････\)のおのおのが\(0または1\)をとるとき、一般に、\((x_1,y_1､x_2,y_2,･･･････､x_p,y_p)\)の組のなかで、\(x_1y_1+x_2y_2+･･････x_py_p\)が偶数(0を含みます）、奇数になるものの個数を、それぞれ\(f_p,g_p\)とするとき、\(f_n＝２^{n-1}(２^n+1)、g_n＝２^{n-1}(２^n－1)\)となることを示してください。（東京工大）

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