難関私立大医学部・入試問題

難関私立大医学部

いわゆる私立大学の難関校では、マークシート法のところもありますが、記述式を取り入れて、論理構成力を見る入試問題を出すところが結構あります。小問に分かれていたり、誘導が与えていたりするかなり難しい問題もあります。問題量や計算量も多く、その割には時間が短かめに設定される場合が多いですから、十分な演習が必要です。

難関私立大医学部・数学入試問題

【問題1】

自然数\(n,m\)は、\(２≦ｍ＜ｎ\)を満たすとします。
(1)　次の不等式が成り立つことを証明してください。
\((n+1－m)/m(ｎ+1）＜1/ｍ^2+1/(m+1)^2+･･･+1/ｎ^2\)
＜\((n+1-m)/n (m-1)\)
(2)　次の不等式を証明してください。
\(3/2≦\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (1+1/2^2+･･････+1/ｎ^2)≦2\)
(3)　(2)の不等式をより厳密にした次の不等式が成り立つことを証明してください。
\(29/18≦\displaystyle\lim_{ n \to \infty }(1+1/2^2+･･････+1/ｎ^2)
≦61/36\)
（日本医科大学）

【問題２】

次の問いに答えてください。
(1)　２つの\(x\)の1次関数\(y=ax+b、y=cx+d\)があるとき、この2つが直交する
必要十分条件を求めてください。
(2)　放物線\(y=x^2\)の上の\(2点Ｏ(－1,1)、A(a,a^2)\)に対して、この放物線上
のもう1つの点\(B(b,b^2)\)で、\(∠OBA\)が直角になるものが存在する\(a\)
の条件を求めてください。
(3)放物線\(y=x^2\)の上の\(2点Ｏ(－1,1)、A(a,a^2)\)に対して、この放物線上
のもう1つの点\(B(b,b^2)\)をとり、\(∠OBA\)が直角３角形を作ることを考えま
す。直角3角形が、４つできる\(a\)の条件を求めてください。
(順天堂大学医学部）

【問題3】

\(θ\)は、\(0≦θ≦π\)を満たす実数とします.\(xyz\)空間の平面\(z=0\)の上に、
２点\(P_θ(cosθ、sinθ、0),Q_θ(2cosθ、2sinθ、0)\)をとり、\(0≦θ≦π\)の範囲で動かすとき、線分\(P_θQ_θ\)が通過する部分を \(Dとします。空間内 z≧0\) の部分について、底面が\(D\)、\(P_θQ_θ\)上の各点での高さが\(２/π･θ\)の立体 \(K\) を考えます。半球\(B:x^2+y^2+z^2≦2^2,ｚ≧0\)と\(K\)との共通部分を\(L\)とするとき、次の問いに答えてください。
(1)　\(B\)を平面\(z=t　(0≦ｔ<2)\)で切った切り口の円の半径を\(t\)を用いてあら
わしてください。
(2)　\(L\)の体積を求めてください。
（東京慈恵会医科大学）

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