梶田隆章東大教授ノーベル物理学賞受賞記念

２０１５年梶田教授ノーベル物理学賞受賞－医学・生理学賞に続く快挙－

梶田東大教授が東大宇宙線研究所(東大柏キャンパス)敷設施設のスーパーカミオカンデでニュートリノに質量が存在することが発見され、ノーベル物理学賞を受賞されました。

カミオカンデやスーパーカミオカンデでの光電管の精度アップに東大と共同で開発をした浜松フォトニクスとの話も有名です。

今、現代物理学は岐路にあるとも言われています。アインシュタインも達成できなかった統一場理論の延長のもとに、標準理論と反対称性理論が提唱されていますが、ニュートリノの質量の存在の実証で、後者が有力視されることにもなると思います。ますます素粒子物理学が注目されている訳です。

物理学にもっとも応用される数学の問題

－難関大入試問題について－　（東京大学）150分

【問題1】

実数\(a,b\)に対し、平面上の点\(P_n(x_n,y_n)を,(x_{n+1},y_{n+1})＝(ax_{n}－by_n,ｂx_{n}+bａy_n)、(n=1,2,3･･･････)\)によって定めます。このとき次の(1)(2)がともに成り立つような\((a,b)\)を全て求めてください。
(1)\(P_0＝P_6\)、　(2)\(P_0,P_1,P_2,P_3,P_4,P_5\)は相異なる

【問題2】

\(a\)を実数として、\(ｘ＞0\)で定義された関数\(f(x),g(x)\)を定義します。
\(f(x)＝cosｘ/ｘ,ｇ(x)＝sinｘ+ax\)
このとき、\(y=f(x)とｙ＝g(x)\)が\(x>0\)の範囲で共有点を3つ持つような\(a\)を全て求めてください。

【問題3】

\(A,B\)の2人がいるとします。投げた表裏の出る確率がそれぞれ、\(1/2\)のコインが1枚あり、最初は\(A\)がコインを持っているとします。今
(a)\(A\)がコインを持っているときは、コインを投げ、表がでれば\(A\)に
1点をを与え、コインは\(A\)がそのまま持つものとします。裏が出れば、
両者に点が与えられず、コインは、\(AからB\)に渡すものとします。
(b)\(B\)がコインを持っているときは、表がでれば\(B\)に１点を与え
コインは\(B\)が持つものとします。

(1)\(A,B\)あわせてちょうど\(n\)コインを投げ終えたときに、\(A\)が勝利に
なる確率\(p(n)\)を求めてください。
(2) \(\displaystyle \sum_{n= 1 }^{∞} p_n\)を求めてください。

【問題4】

\(△ABC\)において、\(∠BAC＝90°,l\overrightarrow{ AB }ｌ=1, ｌ\overrightarrow{ AC}ｌ＝\sqrt{3}\)とします。\(△ABC\)の内部の点\(P\)が
\(\overrightarrow{PA }/ｌ\overrightarrow{PA}ｌ+\overrightarrow
{ PB}/l\overrightarrow{PB}ｌ+\overrightarrow
{PC}/l\overrightarrow{PC}ｌ＝\overrightarrow{0}\)を満たすとし
ます。
(1)　\(∠APB、∠APC\)を求めてください。
(2)　\(l\overrightarrow{PA }l、l\overrightarrow  {PB}、l\overrightarrow{PC}ｌ\) をもとめてください。

【問題５】

次の命題\(P\)を証明したい。

命題\(P\)：次の条件\((a)､(b)\)をともに満たす自然数\(A\)が存在する。
(a)　Aは連続する３つの自然数の積である。
(b)　Aを１０進法であらわしたとき、１が連続して99回以上現れるところが
ある。

(1)\(ｙ\)を自然数とします。このとき不等式\(x^3+3ｙｘ^2＜(ｘ+ｙ－1)
(x+y)(x+y+1)\)が成り立つような正の実数\(x\)の範囲を求めてください。

(2) 命題 \(P\)を証明してください。

【問題６】

座標空間において、\(xy\)平面内で、不等式\(lxl≦1、lyl≦1\)により定まる正方形\(S\)の４つの頂点を\(A(-1,1,0),B(1,1,0),C(1,-1,0)\)とします。正方形\(S\)を、直線\(BD\)を軸として回転してできる立体を\(V_1\),直線\(AC\)を軸として回転してできる立体を\(V_2\)とします。

(1)\(0≦ｔ＜1\)を満たす実数\(t\)に対し、平面\(x=t\)による\(V_1\)の切り口の面積を求めてください。

(2)\(V_1とV_2\)共通部分の体積を求めてください。