大村特別栄誉教授ノーベル医学・生理学賞受賞記念特集

北里大学の大村特別栄誉教授の2015年ノーベル賞受賞記念

2015年10月5日、大村智北里大特別栄誉教授が、2015年度のノーベル医学・生理学賞を受賞されました。これを祝し北里大医学部の入試問題を取り上げてみましょう。ご専門から化学などの問題のほうがよいのでしょうが、サイト趣旨から数学の問題を提示しておきます。なお、筆者は、化学、物理の講義も行っています。

北里大学医学部入試問題　時間：80分

【問題１】

(注)　【問題1】は、センター方式であり、答えのみを記入する方式で
す。ここでは、記述式に修正しています。

(1)  \(k\)を実数とするとき、方程式\(\sqrt{4X－3}=ｘ+ｋ\)の実数
解が2個になる\(k\)の値と１個になる\(k\)の値を求めてください。

また、曲線\(y=\sqrt{4x－3}\)　と直線　\(y=x\)で囲まれた部分
を、x軸の回りに回転したときの体積をもとめてください。

(2)　曲線\(y=kｘ^2－1\)と曲線\(y=logｘ\)が共有点をもち、その点
で共通の接線を持つときの、\(k\)を求めてください。また共通の
接線の方程式を求めてください。

(3)　数列\({ａ_n}\)の初項から\(n\)項までの和を\(S_n\)とすると
き、\({ａ_n}\)は、\(ａ_1＝1,ａ_{n+1}＝S_n+ｎ^2+1\)
\((n=1,2,3,･･･････)\)を満たすとします。

このとき、\(ａ_1、ａ_n、S_n\)を求めてください。

(4) \(△ABC\)において、\(AB=3、AC=4、∠A＝π/3\)とします。
\(△ABC\)の外心を\(O、\overrightarrow{ AB }＝\vec{ ｂ }、
\overrightarrow{ AC}＝\vec{ｃ}\)とします。

①　\(△ABC\)の外接円の半径を求めてください。
②　\(\overrightarrow{AO}を\vec{ ｂ }、\vec{ ｃ }\)で表して
ください。
③　直線\(BOと辺AC\)の交点を、\(P\)とするとき、\(AP:AC\)を
求めてください。

(5)　\(X君とYさん\)は、毎日正午に次の規則に従って食事を取ります。
①　\(食堂A,食堂B、食堂C\)のいづれかで食事をとります。
②　食堂は、前日とは異なる2つのうちの１つを無作為に選びます。
③　2人が同じ食堂を選んだ日は、必ず一緒に食事をします。

1日目には２人は別々の食堂で食事を取ったとします。このとき、
３日目に初めて２人が一緒に食事をとる確率を求めてください。
また２人が一緒に食事をとる日が７日目になる確率を求めてください。

【問題２】

\(k\)は定数とします。楕円\(x^2/4+y^2＝1\)と直線\(x+\sqrt{3}＝
ky\)　の共有点を\(P,P’\)とします。楕円の焦点を\(F(\sqrt{3},0)、
F'(－\sqrt{3},0)\)とするとき、

(1)　\(△PP’F\)の面積を\(ｋ\)を用いて表してください。
(2)　\(△PP’F\)の内接円の半径を最大にする\(ｋ\)の値を求めてくだ
さい。

【問題３】

実数全体を定義域とする関数\(f(x)\)は奇関数で、微分可能であるとし
ます。さらに、\(ｆ’(x)\)も微分可能であり、\(ｆ’(0)＝0\)で、\(x>0
\)で\(ｆ’’(x)>0\)とします。\(y=f(x)\)の曲線を\(C_1)\)、\(C_1)
\)をｘ軸方向に\(a\)、y軸方向に\(f(a)\)平行移動した曲線を、\(C_2\)
とします。ただし、\(a＞0\)とします。

(1)\(f(0)\)の値を求めてください。

(2)\(f'(x)\)は、偶関数であることを示してください。

(3)\(C_1とC_2\)で囲まれる図形の面積を\(S(a)\)とします。\(a　が、
０＜ａ≦3\)の範囲を動くとき、\(S(a)を最大にするa\)の値を求めて   ください。