等式の証明・難関大

等式の証明・難関大編

以下の問題は、いずれも理系の難関校の問題ですが、難関校ではありますが、標準的な問題もありますし、少し 考えにくいものもあります。ともにきちんと論理的に考えてみてください。

ところで、難関大や最難関大と東大や京大や東工大などは言われておりますが、先日のタイムズ・ハイヤー・エデュケーションでは、東大や京大は、2014年より大きく順位を落としてしまいました。東大が43位、京大が88位とアジアでもシンガポール大、北京大より落ちてしまいました。200位以内からは、日本の大学のエントリーもありませんでした。日本だけで難関大と言っても通用しない世界になったともいえます。グローバル化の点でポイントを落としており、数学のみならず英語を初めとするGlobalizationを大きな柱にしてこそ、真の難関大といえるのだと思います。

このグローバル化に対応することもこのサイトの大きな目的でもあります。

等式の証明・難関大編の問題

【問題１】

\(αｘ+βｙ+γｚ＝0\)となる全ての実数\(x,y,z\)に対して、次の式が成り立つための必要十分条件を求めてください。ただし、\(αβγ≠0\)とします。\(ax+by+cz+d＝0\)　　　（東工大）

【問題２】

\(a,b,c\)は正の数であって、その中の少なくともいつは１ではないものとします。
\(ａ^xｂ^yｃ^z＝ａ^ｙｂ^zｃ^y＝ａ^zｂ^xｃ^y＝1ならば、ｘ＝ｙ＝ｚまたは、ｘ+ｙ+ｚ＝0\)である事を証明してください。
（名工大）

【問題３】

\(a,b,c,d\)を実数とするとき、次の問いに答えてください。

(1)\(ａ^2－ｂｃ＝ｂ^2－cd＝ｃ^2－da=d^2－ab\)･･････････①　が成り立つならば、\(a=b=c=d\)または、
\(a+b+c+d=0\)である事を証明してください。

(2)①が成り立つとき、\(ab(a+b)+cd(c+d)＝bc(b+c)+da(d+a)\)　である事を証明してください。
（九州工大）