微積分の演習問題－数Ⅲの解答編－

難関大の微積分演習問題

今回の難関大の微積分の問題は、積分のみとなりました。下記の問題は、出題された問題そのものではありません。実際の問題では、誘導や、ヒントになる設問がついておりますが、問題そのものを純粋に解いていただきたいと言う意図から、導入部はあえてカットいたしました。

従って、下記の問題はどうやって積分の計算をするのか、不等式の証明をするのかの見通しを自らでやらなければならなかったはずです。このような問題をじっくり考えておくのも、実際の試験に対応する大きな力になるものと私は確信しています。数学は、決して解法暗記だけではないということを心していただきたいと思っています。
関連リンクは次です。微積分演習ー難関大－

難関大の微積分演習問題の解答

【問題１】

\(\displaystyle \int_{0}^{π} ｘsin^2ｘ/(sin^2ｘ+8)･dx\) を求めてください。（横浜国大）

【解答１】

\(f(x)\)が連続関数のとき、\(ｔ＝π/2－ｘ\)　と置換積分すると、

\( \int_{0}^{π} ｘ･f(sinx)･dx＝π/2･\int_{0}^{π} f(sinx)･dx\)････①
が成り立ちます。

従って、\(I＝\displaystyle \int_{0}^{π} ｘsin^2ｘ/(sin^2ｘ+8)･dx\)とおき、\(f(x)＝ｘ^3/(sin^2ｘ+8)\)とすれば、

①より、\(I=π/2･\int_{0}^{π} f(sinx)･dx＝π/2･\int_{0}^{π}sin^3ｘ/(sin^3ｘ＋8)･dx\)

＝\(π/2･\int_{0}^{π}sin^3ｘ/(sin^3ｘ＋8)･dx\)

＝\(π/2･\int_{0}^{π}{sinｘ(1－cos^2)/(9－cos^3ｘ)}･dx\)･･････②

ここで、\(u＝cosx\)とおき、②を部分分数分解し、置換積分を行うと、

\(I=π/2･\int_{1}^{-1}(u^2－1)/(u^2－9)du＝π(1－4/3･log２)\)

 

【問題２】

(1)次の定積分を求めてください。
\(\displaystyle\int_{0}^{π}\displaystyle\sum_{k=1}^{3} (sinkx/k)^2dx\)

(2)任意の自然数\(n\)に対して、次の不等式が成り立つことを示してください。

\(\int_{0}^{π}\sum_{k=1}^{n}(sinkx/k)^2dx\)＜\(61/144･π\)
（お茶の水女子大）

【解答２】
(1)\(\int_{0}^{π/2}(sinkx/k)^2dx＝1/2・\left[ ｘ－1/2k･sin２kｘ \right]　_0^{π/2}＝π/4\)･･･････①

よって。　①より、
\(\int_{0}^{π/2}\sum_{k=1}^{3}(sinkx/k)^2dx＝\sum_{k=1}^{3}\int_{0}^{π/2}(sinkx/k)^2dx＝π(1/1^2+1/2^2+1/3^2)＝49/144･π\)

(2)(1)から、\(\int_{0}^{π/2}(sinkx/k)^2dx＝\sum_{k=1}^{n}1/ｋ^2(sin^2kx)dx＝π/4･\sum_{k=1}^{ｎ}(1/ｋ^2)\)･･････②

ここで、\(n=1,2,3\)のとき、(1)より
\(π/4･\sum_{k=1}^{ｎ}(1/ｋ^2)≦49/144･π＜61/144･ｎ\)

\(ｎ≧4\)のとき、より
\(\sum_{k=1}^{n}1/ｋ^2＜1/ｋ(ｋ－1)＜1/3－1/ｎ\)･･･③
よって、②、③より、

\(π/4･\sum_{k=1}^{ｎ}(1/ｋ^2)＝π/4(\sum_{k=1}^{ｎ}(1/ｋ^2)+\sum_{k=4}^{ｎ}(1/ｋ^2)\)＜
\(π/4･(49/36+1/3－1/ｎ)＜61/144π\)

従って、全ての\(n\)で不等式が成り立ちます。

注）これは、バーゼル問題にヒントを得た問題です。バーゼル問題とは、
\(ζ(2)＝\sum_{k=1}^{∞}(1/ｋ^2)＝π^2/6\)（オイラー）

【問題３】

\(\displaystyle \int_{0}^{π} sin^3ｘ/(sinｘ+cosx)･dx\)
を求めてください。

【解答３】

\(0≦ｘ≦π/2\)で、\(f(x)\)が連続であれば、

\(\int_{0}^{π/2}ｘf(x)dx＝\int_{0}^{π/2}f(π/2－x)dx\)が成り立ちます。
（\(ｔ＝π－ｘ\)　と置換積分すれば、容易です。）･･････①

ここで,\(f(x)＝ sin^3ｘ/(sinｘ+cosｘ)\)とおけば、
\(ｆ(x)＝cos^3ｘ/(sinｘ+cosｘ)\)　となります。

①を使うと、
\(I=\int_{0}^{π} sin^3ｘ/(sinx+cosx)･dx＝\int_{0}^{π} cos^3ｘ/(sinｘ+cosx)･dx\)となりますから、

\(２I＝\int_{0}^{π} (sin^3ｘ+cos^3)/(sinx+cosx)･dx\)

=\(\int_{0}^{π} (sin^2ｘ－sinx･cosx+cos^2ｘ)･dx\)

＝\(\left[ ｘ+1/4･cos２ｘ \right]　_0^{π/2}\)

＝\(π/2－1/2\)　となりますから

\(I=1/4･(π－1)\)

注）①に気がつかなければ、この問題は相当難しいと思います。