ベクトル演習－解答編－

難関大学のベクトル演習

数Bのベクトルと数列を苦手としている人をよく目にします。確かに難関校では融合問題として出題される場合が多いので、やや難しくなるのも事実ですが、結構、難関受験数学として大きな位置を占めていますので、演習は十分にやる必要があると思います。解説、問題は次のリンクです。ベクトル演習

問題の解答

【問題１】

点\(Ｏ\)を中心とする半径１の球面上に４点\(A,B,C,D\)があって、
\(\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OB }+\overrightarrow{OC }\)+\(\overrightarrow{OD }＝\overrightarrow{0 }\)とします。

\(\overrightarrow{ OB’ }=-\overrightarrow{ OB }\)
\(\overrightarrow{ OD’ }=-\overrightarrow{ OD }\)

となるようにします。このとき、\(AB’CD’\)が互いに異なれば、これらの４点は、この順で長方形の頂点になってることをしめしてください。
（京大）

【解答１】

条件から、
\(\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OB }+\overrightarrow{OC }\)+\(\overrightarrow{OD }＝\overrightarrow{0 }\)　ですから、
\(\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OB }\)＝
－\(\overrightarrow{OC }－\overrightarrow{OD }\)

よって、\((ｌ\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OB }ｌ)^2\)
＝\((ｌ－\overrightarrow{OC }－\overrightarrow{OD }ｌ)^2\)

各ベクトルの大きさは1ですから、
\(\vec{ OA } \cdot \vec{OB}=\vec{OC} \cdot \vec{OD}\)

よって、\(ｌｌ\overrightarrow{ OA }+\overrightarrow{ OB }ｌ＝\overrightarrow{CD}ｌ\)

同様にして、\(\overrightarrow{AB’}＝\overrightarrow{D’C}\)

従って、四角形\(AB’CD’\)は平行四辺形で、同一円周上にありますから、
\(四角形AB’CD’\)は長方形となります。

【問題２】

\(Ｏ\)を原点とする\(xyz\)空間に、\(点A（2,1,2)\)があるとします。

点\(P\)が\(\overrightarrow{ OA }、\overrightarrow{ OP }\)の成す角が
\(π/2\)で、\(ｌ\overrightarrow{ OA }ｌ＝\overrightarrow{ OP }\)

を満たすとします。

\(P(x,y,z)\)について、\(ｙ－2ｘ\)のとり得る値の範囲を求めてください。
（慈恵医大改）

【解答２】

PからOAに垂線を下ろし、OAに垂直な平面αを考えます。垂直条件を内積で表し、
平面のαの方程式を求めます。
ｚを消去し、条件からyも消去できます。
ｘの２次方程式がでてきますから、実数条件から値の範囲を求めることができます。やってみてください。