高次方程式－方程式の解き方

高次方程式について

受験数学に出題される高次方程式は、特徴があります。一般にｎ次の代数方程式には、複素数の範囲でｎ個の解を持つのは、ガウスの証明した代数学の基本定理です。

ただ、受験数学に一般的な問題が出題されることはありません。何らかの形で解けるように仕組んであるのが、受験数学です。

受験数学で、よく出題される高次方程式は、
(1)対称的な高次方程式
(2)複素数に関する定理が使える円分方程式
(3)因数分解が上手くできる方程式

などです。受験数学に出題される高次方程式は、5次くらいまでです。
1次方程式から4次方程式までは、2次方程式の解の公式のような、一般的な解の公式もあります。解答はリンクにあります。高次方程式-解答編-

高次方程式の問題

【問題１】

実数係数の整式　$P(ｘ)$に対して、$ｘ－i$で割ったときの余りが３のとき、
$Ｐ(x)$を$ｘ＋ｉ$で割ったときの余りを求めてください。

【問題２】

$p,q$を実数。$ｑ≠0$とします。$ｐ+ｑi$が、

方程式$ｘ^3+ｐｘ+10＝0$の解であるとき、$p,q$を求めてください。

【問題３】

複素数$1＋ｉ$を１つの解とする次数係数の３次方程式
$ｘ^3+ａｘ^2+ｂｘ+ｃ＝0$････①　とします。

(1)方程式①の実数解を$a$を用いてあらわしてください。
(2)①と$ｘ^2－ｂｘ＋3＝0$がただ１つの共通解を持つとき、
定数$a,b,c$を求めてください。