高次方程式－方程式の解き方

高次方程式について

受験数学に出題される高次方程式は、特徴があります。一般にｎ次の代数方程式には、複素数の範囲でｎ個の解を持つのは、ガウスの証明した代数学の基本定理です。

ただ、受験数学に一般的な問題が出題されることはありません。何らかの形で解けるように仕組んであるのが、受験数学です。

受験数学で、よく出題される高次方程式は、
(1)対称的な高次方程式
(2)複素数に関する定理が使える円分方程式
(3)因数分解が上手くできる方程式

などです。受験数学に出題される高次方程式は、5次くらいまでです。
1次方程式から4次方程式までは、2次方程式の解の公式のような、一般的な解の公式もあります。解答はリンクにあります。高次方程式-解答編-

高次方程式の問題

【問題１】

実数係数の整式　\(P(ｘ)\)に対して、\(ｘ－i\)で割ったときの余りが３のとき、
\(Ｐ(x)\)を\(ｘ＋ｉ\)で割ったときの余りを求めてください。

【問題２】

\(p,q\)を実数。\(ｑ≠0\)とします。\(ｐ+ｑi\)が、

方程式\(ｘ^3+ｐｘ+10＝0\)の解であるとき、\(p,q\)を求めてください。

【問題３】

複素数\(1＋ｉ\)を１つの解とする次数係数の３次方程式
\(ｘ^3+ａｘ^2+ｂｘ+ｃ＝0\)････①　とします。

(1)方程式①の実数解を\(a\)を用いてあらわしてください。
(2)①と\(ｘ^2－ｂｘ＋3＝0\)がただ１つの共通解を持つとき、
定数\(a,b,c\)を求めてください。