へロンの公式・プラーマグプタの公式

へロンの公式

へロンの公式は、3辺が既知の三角形の面積\(S\)を求める公式ですが、これは高校で学びますから、公式自体は覚えている方も多いと思います。

しかしながら、ヘロンの公式を証明してくださいと言われると、あるいはこのような問題がでたら、できる人は限られるのではないかと思います。 そこで、ヘロンの公式の証明とその拡張を学んでみましょう。

ヘロンの公式の証明

ヘロンの公式は,\(△ABC\)の、\(BC＝ａ、CA=ｂ、AB＝ｃ\)とし、 \(ｓ＝(a+b+c)/2\)　とすると、 \(△ABCの面積S\)は、

\(S＝\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) ･･･････①

になると言うものです。 ①が問題にでたら証明できますか。基本線は理解しておく必要があると思います。

以前、東大の入試問題に、三角関数の加法定理そのものを証明しなさいと、言う問題が出ましたが、出来は悪かったようです。

【証明】 \(S＝1/2･bc･sinA＝1/2･bc\sqrt{1－cos^2}\)
＝\(1/2･\sqrt{b^2･ｃ^2(1+cosA)(１－cosA)}\)
＝\(1/2･\sqrt{bc(1+cosA)･bc(１－cosA)}\)･･････②

ここで、余弦定理から、
\(2bc(１＋cosA)＝2bc+(ｂ^2+ｃ^2－ａ^2)＝(b+c-a)(b+c+a)\)･･･③
\(2bc(１－cosA)＝2bc－(ｂ^2+ｃ^2－ａ^2)＝(a+b-c))(a-b+c)\)･･･④

②、③、④から、\(ｓ＝(a+b+c)/2\)とおくと、
\(4b^2･ｃ^2(1+cosA)(１－cosA)＝４s(s-a)(s-b)(s-c)\)････⑤

従って、②、⑤から、 \(S＝\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)　となります。

この他にも証明法はありますが、結局は各項を\(a,b,c\)で表せばよいことになります。

ヘロンの公式の拡張（プラーグマグプタの公式）

円に内接する４角形の４辺を、\(a,b,c,d\)としたときの、内接４角形の面積
\(S\)を求める公式です。
プラーグマグプタは、７世紀のインドの数学者ですが、インドは、あの超天才のラマヌジャンやラマンなど、優れた数学者や物理学者を出しています。

プラーグマグプタの公式は、

\(S=\sqrt{s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}\)････････⑥

となり、ヘロンの公式とよく似ています。プラーグマグプタの公式で、内接４角形のかわりに、1辺たとえば、\(d=0\)とすれば、ヘロンの公式①となります。