数と式・整数に関する問題

数と式・整数の問題

数と式・整数の問題は、数ⅠAの範囲ですが、難し目の問題も結構あります。
数と式では、等式の証明、不等式の証明などが頻出です。これらの問題は、確実に得点していくように演習を進めてください。

整数の問題は、合同式やユークリッドの互除法などを利用します。これらは、きちんとマスターすると、有効な解法の手段となりますから、再度確認しておきましょう。

数と式・整数-問題-

【問題１】

(1)方程式\(48ｘ+539ｙ＝77\)　を満たす整数解、\((x,y,z)\)を全て求めて
ください。（大阪市立大）

(2)３つの自然数の組　\(a,b,c)\)は、次の条件を満たすとします。

\(ａ＜ｂ＜ｃ、1/ａ+1/ｂ+1/ｃ＜1/3\)

このような整数の組で、\(c\)が最も小さいものを全てもとめてください。
（一橋大）

【問題２】

全ての正の実数　\(x,y\)に対し

\(\sqrt{x}+\sqrt{y}≦ｋ\sqrt{2x+y}\)

が成り立つような実数ｋの最小値を求めてください。
(東大）

【問題３】

\(f(x)＝ｘ^2－２\)とし、\(p,q は整数, q≠0\)とします。

(1)　\(ｌq^2･f(p/q)ｌ≧１\)が成り立つことを示してください。

(2)\(ｌp/q－\sqrt{2}ｌ＜１\)のとき、

\(ｌp/q－\sqrt{2}ｌ＞1/{(2\sqrt{2}+1)･q^2}\)

が成り立つことを示してください。（津田塾大）