微積分－理系での必須項目・解答編－

微積分-難関理系数学での必須単元

数学Ⅲの微積分は、大学で学ぶ解析学につながるものです。入試問題でも頻出項目ですから、演習を十分やっておきましょう。微積分－理系の必須項目

微積分の解答

【問題１】

(1)$a$を1より大きい実数とします。0以上の任意の実数ｘに対して、次の不等式が成り立つことを示してください。

$log２+ｘ/2･logａ≦log(1+ａ^x)≦log2+ｘ/2･loga+ｘ^2/8･(loga)^2$

(2)$n=1,2,3･･････$に対して、$ａ_n＝((1+\sqrt[n]{3}/2)^n$とするとき
$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } ａ_n$　を求めてください。
（大阪大）

【解答１】

(1)$f(x)＝log(1+ａ^x)－(log2+ｘ/2･loga)$　とおくと、
$f(x)＝log(1+ａ^x)－log２ａ^(x/2)＝log(a^(x/2)－1)^2≧0$
よって、$log２+ｘ/2･logａ≦log(1+ａ^x)$

また、$g(x)＝(log2+ｘ/2･loga+ｘ^2/8･(loga)^2)－log(1+ａ^x)$とおく
と、
$ｇ’(x)＝logａ/2+ｘ/4･(logａ)^2－ａ^xloga/(1+ａ^x)$
$ｇ’’(x)＝(logａ)^2/4－ａ^x(logａ)^2/(1+ａ^x)^2$
＝$(1－ａ^x)^2/4(1+ａ^x)^2･(logａ)^2＞0$
よって、$ｇ’(x)$は単調増加で、$g’(0)＝0$より、$g(x)$は単調増加で、
$g(0)＝0$だから、
$log(1+ａ^x)≦log2+ｘ/2･loga+ｘ^2/8･(loga)^2$

(2)$ａ_n＝((1+\sqrt[n]{3}/2)^n$だから、
$logａ_n＝ｎ{log(1＋\sqrt[1/n]{3})－log２}$

(1)で$ａ＝3,x=1/ｎ$とおくと、不等式は、

$1/2n･log３≦log(1＋\sqrt[1/n]{3}－log２≦$
$1/2n･log３+1/8ｎ^2(log３)^2$

よって、$1/2log３≦loga_n≦1/2･log３+1/8ｎ･(log3)^2$

$1/2log３≦\displaystyle \lim_{ n \to \infty } ａ_n≦1/2log３$
従って、$\displaystyle \lim_{ n \to \infty } ａ_n＝\sqrt{3}$

【問題2】

平面上に２つの曲線 C :$y=e^(２ｘ)＋1$、$Ｄ：y=－ｘ^4＋14ｘ－49$がある。
点P,QがそれぞれC上とD上を動くとき、線分$PQ$の長さの最小値をもとめてください。(首都大学東京）

【解答２】

$C$上の点$P(p,s)$、$D$上の点$Q(q,t)$とすると、
$PQ^2＝(q－ｐ)^2＋(ｔ－ｓ)^2$･･････①

ここで、Pを固定して、Qを動かすと、
$d/dq(PQ^2）＝2(q-p)＋2((t-s)(dt/ds)$
$PQ$は、$PQ^2$が最小になる点Q_0とき、最小となります。
よって、$d/dq(PQ^2)＝0$から、

$dt/ds=－(ｑ－ｐ)/((ｔ－s)、ｄｔ/ｄｑ･｛(ｔ-s)/(ｐ－q)｝＝－1$
よって、$D$の$Q_0$における接線は、$PQ_0$と直交することになります。
同様に考えると、$PQ$を最小にする点を、$Ｐ_0,Q_0$とすると、
$Ｐ_0Q_0$は、$C,D$の共通法泉となります。
$P_0(0,2)、Q_0(6,-1)$より、
最小値は,$P_0Q_0＝\sqrt{6^2+(－3)^2}＝３\sqrt{5}$

【問題３】

(1)ｎを正の整数とします。$－π/2≦ｘ≦π/2$の範囲において、

$f_n(x)＝sinnx/sinx　(－π/2≦ｘ≦π/2、ｘ≠0）$
=$c_n　(x=0)$

で定義される関数$f_n(x)$が、連続関数になるような定数$C_n$
を求めてください。

(2)任意の正の整数ｎに対して、

$\displaystyle \int_{ -π/2}^{π/2} f_{2n+1}(x) dx$

の値を求めてください。（東大）

【解答３】

(1)$ｘ≠0$のとき、$sinnx、sinx$は連続であるから、$f(x)$も連続となります。
よって、$f(x)$が連続である条件は、
$\displaystyle \lim_{ ｘ \to 0} f(x)＝f(0)$が成り立つことです。

$\displaystyle \lim_{ ｘ \to 0 } f(x)$
＝$\displaystyle \lim_{ｘ\to 0 }(sinnx/sinx)＝ｎ$
よって、$c_n＝ｎ$

(2)$I_n＝\displaystyle \int_{－π/2}^{π/2} f_{2n+1}(x) dx$とします。

$I_(ｎ+1)－I_n＝\displaystyle \int_{－π/2 }^{π/2 } {sin(2n+3)ｘ-sin(2n+1)ｘ}/sinｘdx$
＝$2\displaystyle \int_{-π/2}^{π/2}cos(2n+2)ｘdx＝0$

よって、$I_(n+1)＝I_n$

従って、$I_n＝I_1＝\displaystyle \int_{－π/2}^{π/2} f_3(x)dx＝π$