問題演習－難関国立大理系・解答編－

難関国立大問題演習

東京大学の以前の入試問題ですが、最近の問題に比べると、易しい問題が含まれているように感じます。難関受験問題も徐々に変化してくるのもわかります。

ただし、易しい問題があるのも事実ですが、難関校としての難関受験数学も確実に含まれているのも事実です。難関校としての存在感も感じます。

やはり、時間が経過するにつれ、問題そのものもこなれてきて、難易度も難しい方向になるようですが、極端に難化するのは、まれなようです。時間と問題数はほとんど変わっていません。

解説と問題のリンクは次です。問題演習－難関国立大理系－

問題演習・解答

【問題１】

\(S\)を中心Ｏ、半径\(a\)の球面とし、\(N\)を\(S\)上の１点とします。点Ｏにおいて
線分ＯＮと\(π/3\)の角度で交わる一つの平面上で、点\(P\)が点Ｏを中心とする等速円運動をしているとします。その角速度は、\(π/12\)で、\(ＯＰ＝4a\)　とします。

点\(N\)から点\(P\)を観測するとき、\(Ｐ\)は見え初めてから何秒見え続けるか、また
\(P\)が見え始めた時点から見えなくなる時点までの、\(NP\)の最大値及び最小値を
求めてください。
ただし、球面\(S\)は、不透明であるものとします。

【解答１】

時間\(t\)において、
\(Ｎ(1/2･ａ、0、\sqrt{3}/2),　P（4acosπ/12･ｔ、4asinπ/12･t、0)\)　となる。

\(NP\)上の点は、
\((1/2･ａ+ka(cosπ/12－1/2)、－1/2ka(sinπ/12-1/2)、a(\sqrt{3}/2－k)\)
となりますから、
原点と、NP上の点との距離の2乗を、\(L^2\)とすると、
\(L^2＝(－4cosπ/12ｔ+17)･ａ^2ｋ^2+(4cosπ/12ｔ－2)aｋ＋1\)
＝\({(－4cosπ/12ｔ+17)aｋ+4cosπ/12･at－2)ｋa＋ａ}\)　･･････①

①の値が\(ｋ≧0\)のとき、常に\(a\)以上であることが条件ですから、

\(4cosπｔ/12－２)/(4cosπｔ/12－17)≦0\)から、
従って、cosπｔ/12≧1/2\)　よって、\(－4≦ｔ≦4\)です。
すなわち、8秒間\(P\)は見えることになります。

また、\(L^2＝ａ^2(－4cosπt/12+17）\)ですから、
\(L=NP\)の最大値は、\(\sqrt{17}a\)、最小値は、\(\sqrt{15}a\) です。

【問題２】

\(x_1,x_2,･･･････････,x_n\)はおのおの\(0,1,2\)のどれかの値をとるものとします。

\(f_1＝\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n } x_i\)　 \(f_2＝\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n }( x_i)^2\)
のとき、
\(f_k＝\displaystyle \sum_{ i = 1 }^{ n }( x_i)^k\)　\((k=1,2,3････）\)　を

\(f_1、f_2\)とを用いてあらわしてください。

【解答２】

一見難しそうですが、見掛け倒しですね。

\(x_1,x_2,･･･････････,x_n\)のうち、0のものを、\(ｌ個\)、1のものを\(ｍ\)個、
2のものを、\(ｎ\)個とします。

\(f_1＝ｍ+2ｎ\)　･･････････①
\(f_2＝ｍ+2^2･ｎ＝ｍ+4ｎ\)　･･･････②
\(f_k＝ｍ+2^k･ｎ\)　･･･････③

①、②、③より、
\(f_k＝(－2^(k-1)+２)･f_1＋(2^(k-1)－1)・f_2\)

【問題３】

区間　\(1≦ｘ≦3\)において、次のように定義された関数\(f(x)\)があるとします。

\(f(x) =1　（1≦ｘ≦2)\)
\(f(x)＝ｘ－1（2≦ｘ≦3)\)

実数\(a\)に対して、区間　\(1≦ｘ≦3\)における関数 \(f(x)－ａｘ\) の最大値から
最小値を引いた値を \(V(a)\)とおきます。このとき以下の問いに答えてください。

(1)\(ａ\)がすべての実数にわたって動くとき、\(V(a)\)　の最小値を求めてください。

(2)\(V(a)\)の最小値をとる\(ａ\)値を求めてください。

【解答３】

場合わけをして、\(V(a)\)を求めることになります。

(1)　\(1≦ｘ≦２\)のとき、\(f(x)－ax＝－ａｘ＋1\)
\(ａ≧0のとき最小値は，－２ａ+１、最大値は、－２ａ+1\)
\(ａ＜0のとき、最小値は、－ａ+1、最大値は、－ａ+1\)

(2)　\(2≦ｘ≦3\)のとき、\(f(x)－ax＝－ａ＋1\)
\(ａ≧1のとき、最小値は、－2ａ+1、最大値は、－３ａ+2\)

(1)、(2)より、

(3-1)　　\(ａ≦0のとき、v(a)＝－2ａ+1\)

(3-2)　　\(0≦ａ≦1/2　のとき、V(a)＝－３ａ+1\)
\(1/2ａ≦ａ≦1　のとき　V(a)＝ａ\)

(3-3)　\(a≧1のとき、　V(a)＝２ａ－１\)

\((3-1)、(3-2)、(3-3)より、V(a)はａ＝1/2\)で最小値となります。

【問題４】

平面上に1辺の長さが１の正方形 \(S\) があるとします。この平面上で\(S\)を平行移動して得られる正方形で,　点\(Ｐ\)を中心に持つものを\(T(P)\)とします。

このとき、共通部分　\(S \cap T(P)\) の面積が\(1/2\)以上になる範囲を求め、その面積を求めてください。

【解答４】

正方形の対角線の交点を原点とし、正方形Sである\(ABCD\)の頂点を0-ｘｙ座標上で、それぞれ、\((1/2,1/2)、（1/2、-1/2)、(-1/2、-1/2）、(-1/2,1/2)\)
とします。

ここで、中心が\((x,y)\)で、１辺の長さが１で、各辺が、x軸、y軸に平行な
正方形を考えます。座標軸における正方形\(S\)の対称性から、
\(ｘ≧0、ｙ≧0\)での場合を考えます。

\(S \cap T(P)\)を考えているので、\(ｘ≦1、ｙ≦1\)であり、これの
\(ｌｘｌ≦1/2、ｌｙｌ≦1/2\)の部分にある面積は、
\((x-1)(y-1)\)ですから、\((x-1)(y-1)≧1/2\)となります。

従って、第１象限におけるPの存在範囲の面積は、
\(1/2－1/2･\displaystyle \int_{1/2}^{1} 1/ｘ･ dx\)

＝\(1/2－1/2･log２\)･･････①

よって、求める面積は、①を４倍して、　\(２-２log2\)　となります。

【問題５】

\(t\)は１より大きい実数とします。\(xy\)平面において、不等式

(1)\(0≦ｘ\)
(2)\(ｔ/ｘ(1+ｔ^2)≦ｙ≦1/(1+ｘ^2)\)

を同時に満たす点\((x,y)\)全体の作る図形の面積を\(ｔ\)の関数と考え、\(f(t)\)
とします。\(f(t)\)の導関数\(ｆ’(t)\)を求めてください。

【解答５】

\(ｙ＝ｔ/ｘ(1+ｔ^2)　と　ｙ＝1/(1+ｘ^2)\)の交点を求めると
そのｘ座標は、\(ｘ＝ｔ、1/ｔ\)となります。\(t＞1\)　より、

\(1/ｔ＜ｘ＜ｔ\)で、\(1/(1+ｘ^2)≧ｔ/ｘ(1+ｔ^2)\)となりますから、

\(f(t)＝\displaystyle \int_{1/t}^{ｔ}(1/(1+ｘ^2)－ｔ/ｘ(1+ｔ^2))･dx\)
＝\(\displaystyle \int_{1/t}^{ｔ}(1/(1+ｘ^2)･ｄｘ\)
\(－\displaystyle\int_{1/t}^{ｔ}1/ｘ･(ｔ/(1+ｔ^2)･dx\)
＝\(\displaystyle \int_{1/t}^{ｔ}(1/(1+ｘ^2)･ｄｘ\)
－\(２ｔlogｔ/(1+ｔ^2)\)

よって、\(ｆ’(t)＝1/（1+ｔ^2)－1/ｔ^2･1/(1+1/ｔ^2）\)
－\(２(logｔ+ｔ^2logｔ+1+ｔ^2－2ｔ^2logｔ/(1+ｔ^2)^2\)
＝\(2logｔ(ｔ^2－1)/(ｔ^2+1)^2\)　となります。

【問題６】

ｘのある２次関数のグラフが、原点において\(y=x\)に接するものとします。
このグラフ上の点\((u,v)\)における接線の傾きを、\(u,v\)であらわしてください。
ただし、\((u,v)\)は原点ではないとします。

【解答６】

この問題は、計算ミスしなければ、ほぼ全員できたと思います。(教科書レベル）

２次関数を、\(ｙ=f(x)＝ａｘ^2+ｂｘ+c\)　とします。\(y=f(x)\)は
原点を通りますから,\(f(0)＝ｃ＝0\)
また、原点において,\(y=x\)に接しますから,\(ｆ'(x)＝2ａｘ+ｂ\)より、
\(f’0)＝ｂ＝1\)
よって、\(ｙ＝f(x)＝aｘ^2+ｘ\)･･････①　となります。
\(y=f(x)の(u,v)\)上の接線の傾きは、
\(２ａu\)です。
また、\(ｖ＝ａｕ^2+ｕ\)･･････②　です。
②から、\(ｕ≠0から、ａu＝v/u－1\)･･････③

②、③から、求める接線の傾きは、
\(２ａu＝２(v/u－1)\)となります。