複素平面－解答編－

複素数の基本

・\(ｚ\overline{ｚ}＝ｌｚｌ^2\)
・\(ｚが実数⇔ｚ＝\overline{ｚ }\)
・極形式：\(ｚ＝ｒ(cosθ+ｉsinθ)\)
・ド・モアブルの定理：極形式で、\(ｚ^n＝ｒ^n(cosｎθ+ｉsinｎθ）\)
問題等は、次のリンクです。複素平面-ガウス平面の扱い方-

複素平面の問題の解答

【問題１】

複素平面上に0と異なる３点\(ｚ_1、ｚ_2、ｚ_3\)があり、次の条件を満たしているとします。

(A)\(argz_1＝argz_2+120°\)
(B)点\(z_3\)は、２点\(z_2、z_3\)を通る直線に関して点０と反対側にあります。
(C)\(△z_1z_2z_3は、正３角形です。

(1)\(α＝cos60°+ｉsin60°\)とするとき、
\(αz_1＝ｐz_2、αz_3＝ｓz_1+ｔｚ_2\)となる実数\(p,q,s,t\)をそれぞれ
\(ｌz_1ｌ、ｌz_2ｌ\)を用いてあらわしてください。

(2)\(z_3＝ａz_1+ｂz_2\)となる実数\(ａ，ｂ\)をそれぞれ、\(ｌz_1ｌ、ｌz_2ｌ\)を用いてあらわしてください。
（一橋大）

【解答１】

(1)\(αｚ_1、αz_2\)はそれぞれ、\(z_1、Z_2をＯ\)の回りに６０°回転した点で
すから、３点\(ａz_1、0、ａz_2\)はこの順に１直線状上にあります。従って、
\(αz_1/ｌαz_１l＝Z_2/ｌαz_2ｌ\)となりますから、条件より、
\(αz_1＝－ｌz_1ｌ/ｌz_2ｌ･ｚ_2\)です。

よって、\(ｐ＝0、ｑ＝ｌz_1ｌ/ｌz_2ｌ\)　となります。
２点\(0、αz_2\)を通る直線は、\(∠z_10z_２\)を２等分しますから、
\(αz_2/ｌαｚ_2ｌ＝z_1/ｌz_1ｌ＋z_2/ｌｚ_2l\)　また、\(αz_２l＝ｌｚ_2
ｌ\)から、\(αz_2＝ｌz_/z_1ｌz_1+z_2\)ですから、
\(ｓ＝ｌz_2/z_1ｌ、t=1\)　となります。

(2)\(△z_1z_2z_3\)は、正の向きの正三角形ですから、
\(z_2－z_1＝α(z_2－ｚ_1)\)

よって、\(z_3＝z_1－α(ｚ_1－ｚ_2)
＝(ｌz_1ｌ+ｌz_2ｌ)/ｌz_1l・z_1+(ｌz_1ｌ+ｌz_2ｌ)/ｌz_2ｌ・z_2\)
従って、\(ａ＝(ｌz_1ｌ+ｌz_2ｌ)/ｌz_1l、ｂ＝(ｌz_1ｌ+ｌz_2ｌ)/ｌz_2ｌ\)
となります。
【問題２】

(1)複素数\(ｚ＝ｘ+ｙｉ、ｘ、ｙは実数\)を\(ｚ+1/ｚ\)が実数となるように
動かすとします。\(ｘ^2+4ｙ^3\)の最大値を求めてください。

(2)座標平面上の各点\(Ｐ(x,ｙ)\)に対して、
複素数\(ｚ＝(ｘ+ｙ－1/2）＋（ｘ－ｙ)ｉ\)を考えます。
このとき、\(ｚ^2･ｙ+1/ｚ^2\)が実数となるような点\(Ｐ(x,y)\)を求めて
ください。
（東京医科歯科大）

【解答２】

\(ｚ+1/ｚ\)が実数ですから、\(\overline{ｚ}+1/(\overline{ｚ})＝ｚ+1/ｚ\)
これに、\(ｚ･\overline{z}\)をかけて整理すると、
\((ｌｚ^2ｌ－１)(ｚ－\overline{ｚ})＝0\)･･････①

よって、
①より、\(ｘ^2+ｙ^2＝1　またはｙ＝0\)となります。
a)\(ｘ^2+ｙ^2＝1\)のとき、\(Ｐ＝ｘ^2･ｙ+4ｙ^3\)とおくと、\(－1≦ｙ≦1\)で、
\(Ｐ＝(1-ｙ^2)y＋４ｙ^3＝3ｙ^3+ｙ\)　となり、\(ｄP/dy＝9ｙ^2+１＞0\)
従って、Pは単調増加しますから、ｙ＝1で最大値４をとります。
b)ｙ＝0のときは、最大値は0です。

従って、最大値は、４となります。

【問題３】

平面上に直線ｌとｌ上にない点Aをとります。
直線ｌ上に点Bを線分ABと直線ｌが直交するようにとり、点Bを中心として直線ｌを角度θだけ回転して得られる直線をｍとします。

直線 l 上にない点Pをとり、直線ｌに関してPと対称な点をQとします。また、点Aを中心として点Qを2θだけ回転して得られる点をRとします。
このとき、線分PRの中点Mは直線ｍ上にある事を証明してください。
（大阪大）

【解答３】

複素平面上で、ｌを実軸Ｂを原点とするとＡを虚軸上の点として、Ａ(ｉ)とすることができます。

\(a,b,p,q\)を実数として、\(P(a+bi)、R(p+qi)とすると、Q(a-bi)\)ですから、

\(p+qi＝1+(a-bi-i)(cos2θ+isin2θ)\)から、
\(ｐ＝ａcos２θ+(b+1)sin2θ、ｑ＝asin2θ-(ｂ+1)cos2θ+1\)

よって、PRの中点Mの複素数は、
\(1/2･{(a+p)+(b+q)ｉ}\)＝\({ａcosθ+(b+1)sinθ}cosθ+ｉ{ａsinθ(b+1)sinθ}sinθ\)＝\({ａcosθ+（ｂ+1)sinθ}(cosθ+ｉsinθ)\)

また、ｍは実軸とθの角をなす直線ですから、その直線はｔ実数として、
\(ｔ(cosθ、sinθ)\)であらわされます。
従って、Mは直線ｍ上にあります。